§7#2οὕτω δὲ καὶ εἰ ἕνδεκα ὡρῶν ᾖ προβεβλημένη περίοδος, κδ΄ εἶναι τοὺς τύπους ἑνδεκαημέρους ἐρεῖς, ὅπερ ἐστι δωδεκαταίους.
이와 같이 만약 11시간의 주기가 제시된다면, 당신은 11일 주기의, 즉 ‘12일열’ 유형이 24개 있다고 말할 것이다.
οὕτω δὲ καὶ εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ἡ περίοδος ᾖ, τέσσαρας ἐπὶ τοῖς εἴκοσι τεσσαρεσκαιδεκαταίους.
또한 이와 같이 만약 13시간의 주기라면, 24개의 ‘14일열’이 된다.
ὡσαύτως δὲ κᾂν μείζων ᾖ προβεβλημένη περίοδος τῶν κδ΄ ὡρῶν, εἰ μὲν μηδὲν ἔχοι μέτρον κοινὸν πρὸς τὸν τῶν κδ΄, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τῶν ε΄ καὶ κ΄ συμβέβηκε, τέτταρας καὶ κ΄ ἐρεῖς εἶναι εἰκοστοεκταίους τύπους. (ὥσπέρ γε καὶ κ΄.
마찬가지로 설령 제시된 주기가 24시간보다 크더라도, 만약 그것이 24에 대해 공약수를 가지지 않는다면 — 예컨대 25의 경우에 그러하듯이 —, 당신은 26일열 유형이 24개 존재한다고 말할 것이다(마치 20이 그러하듯이).
) εἰ δ’ εἴη τι κοινὸν μέτρον ἀμφοῖν, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ζ΄ καὶ κ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν, ὀκτὼ φήσεις εἶναι δεκαταίους, ἐπειδὴ τῶν μὲν κ΄ καὶ δ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν η΄, τῶν δὲκζ΄, θ΄.
그러나 만약 양자 사이에 어떤 공약수가 있다면 — 예컨대 27에 대해 3분의 1이 공통되는 것처럼 —, 당신은 10일열이 8개 있다고 말할 것이다. 왜냐하면 24의 3분의 1은 8이고, 27의 3분의 1은 9이기 때문이다.
δῆλον γὰρ ὅτι τοῦ δεκαταίου τύπου περίοδός ἐστιν ἡμερῶν ἐννέα συμπληρουμένων, αἵτινες ὡρῶν ἀριθμὸν ἐργάζονται ἑκκαίδεκα καὶ διακοσίων, οὗ μέρος ὄγδοόν ἐστιν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἰκοσιεπτὰ ὡρῶν.
왜냐하면 10일열 유형의 주기는 명백히 꽉 찬 9일이며, 이는 216시간이라는 시간수를 이루고, 제시된 27시간이라는 수효는 이것의 8분의 1이기 때문이다.
ὑποπέπτωκεν οὖν ἡ μέθοδος αὕτη τῇ κατὰ τὸ διάγραμμα κοινῇ προειρημένῃ, τοσοῦτον ἐκείνης διαλλάττουσα, τῷ δύνασθαι καὶ χωρὶς τοῦ διαγράμματος εὑρεῖν τινα πρῶτον ἀριθμὸν ὡρῶν ἡμερησίαις περιόδοις μετρούμενον, οὗ μέρος ὁ προβεβλημένος ἐστίν.
따라서 이 방법은 도표에 따른 전술한 일반적인 방법에 종속되어 있으며, 도표 없이도 제시된 수효가 그것의 약수가 되는, 일일 주기로 나누어 떨어지는 최초의 시간수를 발견할 수 있다는 점에 있어서만 저 방법과 다르다.
τὸ δὲ θεώρημα τοῦτο δέδεικται καὶ πρὸς Εὐκλείδου κατὰ τὸ τῶν στοιχείων, ἕβδομον δὲ αὐτοῦ ἐστι κεφάλαιον.
그리고 이 정리는 유클리드에 의해서도 『원론』에서 증명되어 있으며, 그것은 그 제7권에 해당한다.
τὸ δὲ μεῖζον κοινὸν ἀμφοτέρων τῶν ἀριθμῶν χρὴ λαμβάνοντας σκέψασθαι ποσάκις ἑκάτερον μετρεῖ τὸν ἀριθμὸν τὸ κοινὸν τοῦτο μέτρον, οἷον ἐπὶ τοῦ πεντεκαίδεκα καὶ τοῦ τῶν εἰκοσιτεσσάρων πρῶτον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ τῶν τριῶν ἀριθμός·
그리고 양쪽 수효의 최대공약수를 취하여, 이 공통의 약수가 각각의 수효를 몇 번 나누어 떨어뜨리는지 검토해야 한다. 예컨대 15와 24의 경우, 최초의 공약수는 3이라는 수효이다.
οὗτος δὲ τὸν ε΄ καὶ ι΄ μετρεῖ κατὰ τὸν ε΄, τὸν δὲ εἰκοσιτέσσαρα κατὰ τὸν ὀκτώ.
그리고 이것은 15를 5번에 따라 나누어 떨어뜨리고, 24를 8번에 따라 나누어 떨어뜨린다.
ἐὰν οὖν τὸν ε΄ πολλαπλασιάσῃς ἐπὶ τὸν τῶν κδ΄, ἐάν τε τὸν η΄ ἐπὶ τῶν ιε΄, τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν εὑρήσεις γινόμενον, ὥσπερ ἑκατὸν καὶ εἴκοσιν ὡρῶν, ἡμερῶν δὲ δηλονότι ε΄.
그러므로 만약 5에 24를 곱하거나, 혹은 8에 15를 곱한다면, 당신은 동일한 수효가 생겨남을 발견할 것이다. 즉, 120시간이며, 이는 명백히 5일에 해당한다.
καὶ διὰ τοῦτο τὸν τύπον ἑκταῖον ἐρεῖς.
그리고 이 때문에 당신은 그 유형을 ‘육일열’이라 부르는 것이다.
κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον, εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἴη, κοινῇ μετρήσουσιν οὗτός τε καὶ ὁ τῶν κδ΄ τὸν ἐξ ἀμφοτέρων ἀλλήλων πολλαπλασίων γινόμενον, ὅσπερ ἐστιν ὁ τῶν τιβ΄.
동일한 논리에 따라, 만약 제시된 수효가 13시간이라면, 이것과 24는 서로를 곱하여 생겨나는 배수, 즉 312를 공통으로 나누어 떨어뜨릴 것이다.
(ἐπειδὴ τῶν πρώτων καλουμένων ἀριθμῶν ἐστιν ὁ τρισκαίδεκα.
(왜냐하면 13은 이른바 ‘소수’라 불리는 수효들 중 하나이기 때문이다.
προσαγορεύουσιν γὰρ οὕτως ὧν οὐκ ἔστι κοινὸν μέτρον πλὴν μονάδος. ) ὁ μὲν οὖν ἀριθμὸς, ὅσον ἀμφότεροι μετροῦσιν, ἔσται τιβ΄.
그들은 1 이외에는 공약수를 가지지 않는 것들을 이와 같이 부른다.) 그러므로 양쪽이 나누어 떨어뜨리는 수효는 312가 될 것이다.
τρισκαιδεκάκις γὰρ οὗτος ἔχει τὰς κδ΄ ὥρας.
왜냐하면 이 수효는 24시간을 13배 가지고 있기 때문이다.
ὁ δὲ τύπος ἡμερῶν ἔσται τελείων τριῶν καὶ ι΄, τουτέστι τεσσαρεσκαιδεκαταῖος·
그리고 유형의 날수는 온전한 13일, 즉 ‘14일열’이 될 것이다.
ἐπεὶ δὲ τετράκις τε καὶ εἰκοσάκις οὗτος μετρεῖ τὸν τῶν τιβ΄, τὸ πλῆθος τῶν τύπων ἔσται δ΄ ἐπὶ τοῖς κ΄.
그리고 이 수효는 312를 24번 나누어 떨어뜨리므로, 유형의 수효는 24개가 될 것이다.
ἔχετε γοῦν ἤδη καὶ ταύτην ἀπόδειξιν τῆς μεθόδου, καίτοι γ’ οὐ βουληθέντος ἐμοῦ διδάσκειν ὑμᾶς ἄχρηστα πράγματα·
어쨌든 당신들은 이제 이 방법의 증명 또한 얻은 셈이다. 비록 내가 당신들에게 무용한 것들을 가르치기를 원치는 않았을지라도 말이다.
κάλλιον γὰρ ἦν αὐτῶν ὅλως καταφρονεῖν μεμνημένους τοῦ Πυθικοῦ παραγγέλματος, ὡς φείδεσθαι προσήκει χρόνου.
피티아의 권고인 ‘시간을 아끼라’는 말을 명심하여, 이러한 것들을 온전히 무시하는 편이 훨씬 더 아름다웠을 것이다.