§4.prop.1εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.
与えられた円の中に、その円の直径よりも大きくない、与えられた直線に等しい直線をあてはめること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα μὴ μείζων τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἡ Δ. δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.
与えられた円をABCとし、与えられた、円の直径よりも大きくない直線をDとする。 このとき、ABC 円の中に、直線Dに等しい直線をあてはめなければならない。
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου διάμετρος ἡ ΒΓ. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ Δ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν·
円ABCの直径BCが引かれたとせよ。 もしBCがDに等しいならば、命じられたことはなされたことになるであろう。
ἐνήρμοσται γὰρ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΒΓ. εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Δ, κείσθω τῇ Δ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΕ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΑΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ. ἀλλὰ τῇ Δ ἡ ΓΕ ἐστιν ἴση·
なぜなら、円ABCの中に直線Dに等しい BCがあてはめられているからである。 しかし、もしBCがDよりも大きいならば、Dに等しいCEを切り取り、Cを中心としCEを半径として円EAFを描き、CAを結べ。 そのとき、点Cは円EAFの中心であるから、 CAはCEに等しい。 ところが、CEはDに等しい。
καὶ ἡ Δ ἄρα τῇ ΓΑ ἐστιν ἴση.
したがって、DもまたCAに等しい。
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΑΒΓ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Δ ἴση ἐνήρμοσται ἡ ΓΑ·
したがって、与えられた円ABCの中に、与えられた直線Dに等しいCAがあてはめられた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§4.prop.2εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.
与えられた円の中に、与えられた三角形と等角な三角形を内接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ·
与えられた円をABCとし、与えられた三角形をDEFとする。
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.
このとき、円ABCの中に三角形DEFと等角な三角形を内接させなければならない。
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Α, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΓ, πρὸς δὲ τῇ ΑΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΘ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση·
円ABCの接線GHが点Aにおいて引かれたとせよ。 そして、直線AHおよびその上の点Aにおいて、角DEFに等しい角HACが作られ、また直線AG およびその上の点Aにおいて、角DFEに等しい角GABが作られたとせよ。 そしてBCが結ばれたとせよ。 そのとき、ある直線AHが円ABCに接しており、また、点Aにおける接点から円の中に直線ACが引かれているから、したがって、角HACは、円の反対側の弓形の中にある角ABCに等しい。 ところが、角HACは角DEFに等しい。
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
したがって、角ABCもまた角DEFに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση·
同じ理由により、角ACB もまた角DFEに等しい。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση· .
したがって、残りの角BACは残りの角EDFに等しい。
εἰς τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται·
したがって、与えられた円の中に、与えられた三角形と等角な三角形が内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。