§4.prop.1εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.
주어진 원에, 그 원의 지름보다 크지 않은 주어진 직선과 같은 직선을 맞추어 넣는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα μὴ μείζων τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἡ Δ. δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.
주어진 원을 ABC라 하고, 주어진, 원의 지름보다 크지 않은 직선을 D라 하자. 그렇다면 ABC 원에 직선 D와 같은 직선을 맞추어 넣어야 한다.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου διάμετρος ἡ ΒΓ. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ Δ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν·
원 ABC의 지름 BC를 긋자. 그렇다면 만일 BC가 D와 같다면, 명령된 일은 이루어진 셈이 될 것이다.
ἐνήρμοσται γὰρ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΒΓ. εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Δ, κείσθω τῇ Δ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΕ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΑΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ. ἀλλὰ τῇ Δ ἡ ΓΕ ἐστιν ἴση·
왜냐하면 원 ABC에 직선 D와 같은 BC가 맞추어 넣어졌기 때문이다. 그러나 만일 BC가 D보다 크다면, D와 같은 CE를 놓고, C를 중심으로 하고 CE를 반지름으로 하여 원 EAF를 그린 뒤, CA를 잇자. 그렇다면 점 C는 원 EAF의 중심이므로, CA는 CE와 같다. 그런데 CE는 D와 같다.
καὶ ἡ Δ ἄρα τῇ ΓΑ ἐστιν ἴση.
그러므로 D도 CA와 같다.
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΑΒΓ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Δ ἴση ἐνήρμοσται ἡ ΓΑ·
따라서 주어진 원 ABC에 주어진 직선 D와 같은 CA가 맞추어 넣어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§4.prop.2εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.
주어진 원에, 주어진 삼각형과 각들이 같은 삼각형을 내접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ·
주어진 원을 ABC라 하고, 주어진 삼각형을 DEF라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.
그렇다면 원 ABC에 삼각형 DEF와 각들이 같은 삼각형을 내접시켜야 한다.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Α, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΓ, πρὸς δὲ τῇ ΑΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΘ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση·
원 ABC의 접선 GH가 점 A에서 그어졌다고 하자. 그리고 직선 AH와 그 위의 점 A에서 각 DEF와 같은 각 HAC를 만들고, 직선 AG 와 그 위의 점 A에서 각 DFE와 같은 각 GAB를 만든 뒤, BC를 잇자. 그렇다면 원 ABC에 어떤 직선 AH가 접하고 있고, 또한 접점 A로부터 원 내부로 직선 AC가 그어져 있으므로, 따라서 각 HAC는 원의 엇교대하는 활꼴 안에 있는 각 ABC와 같다. 그런데 각 HAC는 각 DEF와 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ABC도 각 DEF와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση·
같은 이유로 각 ACB 도 각 DFE와 같다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση· .
그러므로 남은 각 BAC는 남은 각 EDF와 같다.
εἰς τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται·
따라서 주어진 원에 주어진 삼각형과 각들이 같은 삼각형이 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.