§13.prop.18#3ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΑ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας·
なぜなら、三角形ZDBは三角形ZABと等角であるから、DBに対するBZの比は、BZに対するBAの比と同じであり、比例関係にある。 そして、3つの直線が比例関係にあるとき、第1の直線に対する第3の直線の比は、第1の直線の上の正方形に対する第2の直線の上の正方形の比と同じである。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
したがって、DBに対するBAの比は、DBの上の正方形に対するBZの上の正方形の比と同じである。
ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ. τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ·
したがって逆に、ABに対するBDの比は、ZBの上の正方形に対するBDの上の正方形の比と同じである。 ところで、ABはBDの3倍である。
τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραπλάσιον·
したがって、ZBの上の正方形はBDの上の正方形の3倍である。 ところで、ADの上の正方形もDBの上の正方形の4倍である。
διπλῆ γὰρ ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ·
なぜなら、ADはDBの2倍だからである。
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
したがって、ADの上の正方形はZBの上の正方形よりも大きい。
μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΖΒ·
したがって、ADはZBよりも大きい。
πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆς ΖΒ μείζων ἐστίν.
したがって、なおさらALはZBよりもはるかに大きい。
καὶ τῆς μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου·
そして、ALが外中比に分けられるとき、大きい方の線分はKLである。 なぜなら、LKは正六角形の辺であり、KAは正十角形の辺であるからである。
τῆς δὲ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΒ·
また、ZBが外中比に分けられるとき、大きい方の線分はNBである。
μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΝΒ. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ·
したがって、KLはNBよりも大きい。 ところで、KLはLMに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΒ.
したがって、LMはNBよりも大きい。
πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείζων ἐστὶ τῆς ΝΒ πλευρᾶς οὔσης τοῦ δωδεκαέδρου·
したがって、正二十面体の辺であるMBは、正十二面体の辺であるNBよりもはるかに大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις.
さて、私は、前記の5つの立体のほかに、互いに等しい等辺かつ等角の図形によって囲まれた別の立体は構成されない、と主張する。
ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλως ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται.
なぜなら、2つの三角形、あるいは一般に2つの平面によっては、立体角は構成されないからである。
ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆς πυραμίδος, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου·
そして、3つの三角形によっては角錐の立体角が、4つの三角形によっては正八面体の立体角が、5つの三角形によっては正二十面体の立体角が構成される。
ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία·
しかし、1点において集まる6つの等辺かつ等角の三角形によっては、立体角はできない。
οὔσης γὰρ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρου ὀρθῆς ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι·
なぜなら、正三角形の角は直角の3分の2であるから、6つの角は4つの直角に等しくなる。
ὅπερ ἀδύνατον·
これは不可能である。
ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περιέχεται.
なぜなら、いかなる立体角も、4つの直角よりも小さい角によって囲まれているからである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται.
同じ理由により、6つより多くの平面角によっても、立体角は構成されない。
ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται·
また、3つの正方形によっては立方体の立体角が囲まれる。
ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον·
しかし、4つの正方形によっては不可能である。
ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρες ὀρθαί.
なぜなら、再び4つの直角になってしまうからである。
ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον·
また、等辺かつ等角の五角形については、3つの五角形によっては正十二面体の立体角が囲まれるが、4つの五角形によっては不可能である。
οὔσης γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρθῆς καὶ πέμπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζους·
なぜなら、等辺の五角形の角は直角の1と5分の1であるから、4つの角は4つの直角よりも大きくなる。
ὅπερ ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον.
さらにまた、他の多角形図形によって立体角が囲まれることも、同じ不都合のために決してない。
οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον·
したがって、前記の5つの立体のほかに、等辺かつ等角の図形によって囲まれた別の立体は構成されない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
λῆμμα
ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου, οὕτω δεικτέον.
補題等辺かつ等角の五角形の角が直角の1と5分の1であることは、以下のように示されるべきである。
ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος ὁ ΑΒΓ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ. δίχα ἄρα τέμνουσι τὰς πρὸς τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε τοῦ πενταγώνου γωνίας.
なぜなら、等辺かつ等角の五角形ABCDEがあるとし、その周りに円ABCDEが外接しているとし、その中心Zが取られているとし、ZA, ZB, ZC, ZD, ZEが結ばれているとせよ。 するとこれらは、五角形のA, B, C, D, Eにおける角を二等分する。
καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα αὐτῶν, ὡς ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, μιᾶς ὀρθῆς ἐστι παρὰ πέμπτον·
そして、Zにおける5つの角は4つの直角に等しく、かつ互いに等しいので、それらのうちの1つ、例えば角AZBは、1つの直角から 5分の1を引いたものである。
λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιᾶς εἰσιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου.
したがって、残りの角ZAB, ABZの和は、1つの直角と5分の1である。
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ·
ところで、角ZABは角ZBCに等しい。
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶς ἐστιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου·
したがって、五角形の全体の角ABCもまた、1つの直角と5分の1である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。