§13.prop.18#3ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΑ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας·
왜냐하면 삼각형 ZDB는 삼각형 ZAB와 등각이므로, DB 대 BZ는 BZ 대 BA와 같이 비례하기 때문이다. 그리고 세 개의 직선이 비례할 때, 첫 번째에 대한 세 번째의 비는 첫 번째 위의 정사각형에 대한 두 번째 위의 정사각형의 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
그러므로 DB 대 BA는 DB 위의 정사각형 대 BZ 위의 정사각형과 같다.
ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ. τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ·
그러므로 반대로, AB 대 BD는 ZB 위의 정사각형 대 BD 위의 정사각형과 같다. 그런데 AB는 BD의 3배이다.
τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραπλάσιον·
그러므로 ZB 위의 정사각형은 BD 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 AD 위의 정사각형도 DB 위의 정사각형의 4배이다.
διπλῆ γὰρ ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ·
왜냐하면 AD는 DB의 2배이기 때문이다.
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
그러므로 AD 위의 정사각형은 ZB 위의 정사각형보다 크다.
μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΖΒ·
그러므로 AD는 ZB보다 크다.
πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆς ΖΒ μείζων ἐστίν.
그러므로 하물며 AL은 ZB보다 훨씬 더 크다.
καὶ τῆς μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου·
그리고 AL이 외중비로 나누어질 때 더 큰 선분은 KL인데, 왜냐하면 LK는 정육각형의 변이고 KA는 정십각형의 변이기 때문이다.
τῆς δὲ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΒ·
또한 ZB가 외중비로 나누어질 때 더 큰 선분은 NB이다.
μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΝΒ. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ·
그러므로 KL은 NB보다 크다. 그런데 KL은 LM과 같다.
μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΒ.
그러므로 LM은 NB보다 크다.
πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείζων ἐστὶ τῆς ΝΒ πλευρᾶς οὔσης τοῦ δωδεκαέδρου·
그러므로 정이십면체의 변인 MB는 정십이면체의 변인 NB보다 훨씬 더 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις.
이제 나는 상기 다섯 가지 입체 외에, 서로 같은 등변이자 등각인 도형들로 둘러싸인 다른 입체는 구성되지 않는다고 말한다.
ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλως ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται.
왜냐하면 두 개의 삼각형 또는 일반적으로 두 개의 평면으로는 입체각이 구성되지 않기 때문이다.
ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆς πυραμίδος, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου·
그리고 세 개의 삼각형으로는 각불의 입체각이, 네 개의 삼각형으로는 정팔면체의 입체각이, 다섯 개의 삼각형으로는 정이십면체의 입체각이 구성된다.
ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία·
그러나 한 점에 모이는 여섯 개의 등변이자 등각인 삼각형으로는 입체각이 형성되지 않는다.
οὔσης γὰρ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρου ὀρθῆς ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον·
왜냐하면 정삼각형의 각은 직각의 3분의 2이므로, 여섯 개의 각은 네 개의 직각과 같게 되기 때문인데, 이것은 불가능하다.
ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περιέχεται.
왜냐하면 모든 입체각은 네 개의 직각보다 작은 각들로 둘러싸여 있기 때문이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται.
똑같은 이유로, 여섯 개보다 많은 평면각에 의해서도 입체각은 구성되지 않는다.
ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται·
또한 세 개의 정사각형으로는 정육면체의 입체각이 둘러싸인다.
ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρες ὀρθαί.
그러나 네 개의 정사각형으로는 불가능한데, 왜냐하면 그것들은 다시 네 개의 직각이 될 것이기 때문이다.
ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου·
또한 등변이자 등각인 정오각형에 대해서는, 세 개로는 정십이면체의 입체각이 둘러싸인다.
ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· οὔσης γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρθῆς καὶ πέμπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζους· ὅπερ ἀδύνατον.
그러나 네 개로는 불가능한데, 왜냐하면 등변오각형의 각은 1과 5분의 1 직각이므로, 네 개의 각은 네 개의 직각보다 크게 될 것이기 때문인데, 이것은 불가능하다.
οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον.
또한 같은 불합리함 때문에, 다른 다각형 도형들로도 입체각이 둘러싸이지 않는다.
οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον·
그러므로 상기 다섯 가지 입체 외에, 등변이자 등각인 도형들로 둘러싸인 다른 입체 도형은 구성되지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
λῆμμα
ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου, οὕτω δεικτέον.
보조정리 등변이자 등각인 정오각형의 각이 1과 5분의 1 직각이라는 것은 다음과 같이 증명되어야 한다.
ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος ὁ ΑΒΓ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ. δίχα ἄρα τέμνουσι τὰς πρὸς τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε τοῦ πενταγώνου γωνίας.
등변이자 등각인 정오각형 ABCDE가 있고, 그 주위에 원 ABCDE가 외접해 있으며, 그 중심 Z를 잡고, ZA, ZB, ZC, ZD, ZE를 연결하였다고 하자. 그러면 이것들은 정오각형의 A, B, C, D, E에서의 각들을 이등분한다.
καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα αὐτῶν, ὡς ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, μιᾶς ὀρθῆς ἐστι παρὰ πέμπτον·
그리고 Z에서의 다섯 개의 각은 네 개의 직각과 같고 또한 서로 같으므로, 그중 하나인 각 AZB는 하나의 직각에서 5분의 1을 뺀 것과 같다.
λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιᾶς εἰσιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου.
그러므로 남은 각 ZAB, ABZ의 합은 하나의 직각과 5분의 1과 같다.
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ·
그런데 각 ZAB는 각 ZBC와 같다.
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶς ἐστιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου·
그러므로 정오각형의 전체 각 ABC도 하나의 직각과 5분의 1이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.