§13.prop.13#2Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ·
なぜなら、直線KThと一直線をなすように直線ThLが延長され、ThLはGBに等しく置かれるとせよ。 そして、ACがGDに対する比はGDがGBに対する比と同じであり、かつACはKThに等しく、GDはThEに等しく、GBはThLに等しいから、したがって KThがThEに対する比は、EThがThLに対する比と同じである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ, ΕΘΛ γωνιῶν·
したがって、KThとThLによって囲まれる長方形は、ETh上の正方形に等しい。 そして、角KThE, EThLのそれぞれは直角である。
τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε.
したがって、KLの上に描かれる半円は、Eをも通るであろう。
ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΛ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ, ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίως γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Ζ, Η γωνιῶν·
もし、KLが固定されたまま、半円が回転されて、動き始めたのと同じ位置に再び戻されるなら、それは、ZL, LHが結ばれ、同様に点Z, Hにおける角が直角になるならば、点Z, Hをも通るであろう。
καὶ ἔσται ἡ πυραμὶς σφαίρᾳ περιειλημμένη τῇ δοθείσῃ.
そして、錐は与えられた球に内接することになる。
ἡ γὰρ ΚΛ τῆς σφαίρας διάμετρος ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ.
λέγω δή, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
なぜなら、球の直径KLは、与えられた球の直径ABに等しいからである。 実に、KThはAGに等しく置かれ、ThLはGBに等しく置かれているからである。 さて、私は、球の直径が、平方において、錐の辺の1.5倍であることを主張する。
ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ·
なぜなら、ACはGBの2倍であるから、したがってABはBCの3倍である。
ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ.
したがって、比の反転によって、BAはACの1.5倍である。 そして、BAがACに対する比は、BA上の正方形がAD上の正方形に対する比と同じである。
ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.
したがって、BA上の正方形も、AD上の正方形の1.5倍である。 そして、BAは与えられた球の直径であり、ADは錐の辺に等しい。
ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος·
したがって、球の直径は、平方において、錐の辺の1.5倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
λῆμμα
δεικτέον, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ.
Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον.
補題 ABがBCに対する比は、AD上の正方形がDG上の正方形に対する比と同じであることを示さねばならない。 なぜなら、半円の図形が描かれているとし、DBを結び、ACの上に正方形EGを描き、平行四辺形 ZBを完成させよ。
ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΕΒ πρὸς τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ·
それゆえ、三角形DABが三角形DAGと等角であることから、BAがADに対する比はDAが ACに対する比と同じであり、したがってBAとACによって囲まれる長方形はAD上の正方形に等しい。
ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ·
そして、ABがBCに対する比は、EBがBZに対する比と同じであり、かつ EBはBAとACによって囲まれる長方形であり（なぜなら、EAはACに等しいから）、また、BZはACとGBによって囲まれる長方形であるから、したがって、ABがBCに対する比は、BAとACによって囲まれる長方形がACとGBによって囲まれる長方形に対する比と同じである。
ἡ γὰρ ΔΓ κάθετος τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ·
そして、BAとACによって囲まれる長方形はAD上の正方形に等しく、ACとGBによって囲まれる長方形は DG上の正方形に等しい（なぜなら、垂線DGは、角ADBが直角であることから、底辺の線分AC, GBの比例中項だからである）。 したがって、ABがBCに対する比は、AD上の正方形がDG上の正方形に対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。