§12.prop.10#1πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.
すべての円錐は、それと同じ底面と等しい高さをもつ円柱の3分の1である。
ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος ἴσον·
なぜなら、円錐が円柱と同じ底面（すなわち円ABCD）と等しい高さをもつとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέρος, τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν.
私は言う、円錐は円柱の 3分の1である、すなわち円柱は円錐の3倍であると。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων, ἔσται ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων.
なぜなら、もし円柱が円錐の3倍でないならば、円柱は円錐の3倍より大きいか、あるいは3倍より小さいかであろう。
ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
まず3倍より大きいとし、円ABCDに正方形ABCDを内接させよ。
τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
すると、正方形ABCDは円ABCDの半分より大きい。
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲς τῷ κυλίνδρῳ.
そして、正方形ABCDから円柱と等しい高さの角柱を立ち上げよ。
τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου·
すると、立ち上げられた角柱は円柱の半分より大きい。
καί ἐστι τὰ ἀπʼ αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ· τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ ἀνασταθέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου·
なぜなら、たとえ円ABCDの外側に正方形を外接させたとしても、円ABCDに内接された正方形は外接された正方形の半分であり、それらから立ち上げられた等しい高さの平行六面体立体は、同じ高さの下にある平行六面体立体が互いにそれらの底面と同じ比をもつから、したがって正方形ABCDの上に立ち上げられた角柱は、円ABCDの周りに外接された正方形から立ち上げられた角柱の半分である。
καί ἐστιν ὁ κύλινδρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου·
そして、円柱は、円ABCDの周りに外接された正方形から立ち上げられた角柱よりも小さい。
τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ κυλίνδρου.
したがって、正方形ABCDから立ち上げられた、円柱と等しい高さの角柱は、円柱の半分よりも大きい。
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
弧AB、BC、CD、DAを点E、Z、H、Thにおいてそれぞれ2等分し、AE、EB、BZ、ZG、GH、HD、DTh、ThAを結べ。
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν.
すると、三角形AEB、BZG、GHD、DThAのそれぞれもまた、前に示したように、円ABCDのそれぞれの対応する弓形部分の半分より大きい。
ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσουψῆ τῷ κυλίνδρῳ·
AEB、BZG、GHD、DThAの各三角形の上に、円柱と等しい高さの角柱を立ち上げよ。
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, θ σημείων παραλλήλους ταῖς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ἀγάγωμεν, καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παραλληλόγραμμα, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάστου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων·
すると、立ち上げられた各角柱もまた、円柱のそれぞれの対応する部分の半分より大きい。
καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλεπιπέδων·
なぜなら、もしE、Z、H、 Thの各点を通ってAB、BC、CD、DAに平行な線を引き、AB、BC、CD、DAの上の平行四辺形を完成させ、それらから円柱と等しい高さの平行六面体立体を立ち上げたならば、立ち上げられたそれぞれの半分がAEB、 BZG、GHD、DThAの各三角形の上の角柱であり、円柱のいくつかの部分は立ち上げられた平行六面体立体よりも小さいからである。
ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθʼ ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων.
したがってまた、AEB、BZG、GHD、DThAの各三角形の上の角柱は、円柱のそれぞれの対応する部分の半分よりも大きい。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου.
したがって、残された弧を2等分し、直線を結び、各三角形の上に円柱と等しい高さの角柱を立ち上げ、これを常に繰り返すならば、私たちは円柱のいくつかの残りの部分を残すことになり、これらは円柱が円錐の3倍を超えているその超過分よりも小さくなるであろう。
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
それらが残されたとし、それらをAE、EB、BZ、ZG、GH、HD、DTh、ThAとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖ ΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου.
したがって、底面が多角形AEBZGHDThであり、高さが円柱と同じである残りの角柱は、円錐の3倍よりも大きい。
ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ·
しかし、底面が多角形AEBZGHDThであり、高さが円柱と同じである角柱は、底面が多角形AEBZGHDThであり、頂点が円錐と同じである錐体の3倍である。
καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον.
したがって、底面が多角形AEBZGHDThであり、頂点が円錐と同じである錐体もまた、円AB CDを底面にもつ円錐よりも大きい。
ἀλλὰ καὶ ἐλάττων·
しかし、それはまたより小さい。
ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ·
なぜなら、それはそれによって包まれているからである。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιος.
したがって、円柱は円錐の3倍よりも大きくはない。