§12.prop.16δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου.
同じ中心の周りにある二つの円があるとき、大きい方の円に、小さい方の円に触れない、等辺かつ偶数辺の多角形を内接させること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Κ· δεῖ δὴ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
与えられた二つの円を、同じ中心Kの周りにある、ABGD, EZHThとし、大きい方の円ABGDに、小さい方の円EZHThに触れない、等辺かつ偶数辺の多角形を内接させねばならない。
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ·
なぜなら、中心Kを通って直線BKDが引かれ、点Hから直線BDに直角にHAが引かれ、かつそれはGへと延長されよ。
ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
したがって、ACは円EZHThに接する。
τέμνοντες δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΑΔ. λελείφθω, καὶ ἔστω ἡ ΛΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ, ΔΝ·
そこで、弧BADを二等分し、さらにその半分を二等分し、これを常に行うことによって、私たちはADよりも小さい弧を残すであろう。 それが残されたとし、それをLDとせよ。 そして、LからBDに垂線LMが引かれ、かつNへと延長されよ。 そして、LD, DNが結ばれよ。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΛΝ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου·
したがって、LDはDNに等しい。 そして、LNは ACに平行であり、かつACは円EZHThに接するので、したがってLNは円EZHThに接しない。
πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ, ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
したがって、なおさらLD, DNは円EZHThに接しない。
ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ εὐθείᾳ ἴσας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ·
そこで、もし直線LDに等しい直線を連続して円ABGDにあてはめていくならば、円ABGDに、小さい方の円EZHThに触れない、等辺かつ偶数辺の多角形が内接されるであろう。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。