§12.prop.16δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου.
같은 중심 둘레에 두 원이 있을 때, 큰 원에 작은 원과 만나지 않는 등변이면서 짝수 개의 변을 가진 다각형을 내접시키는 것。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Κ·
주어진 두 원을 같은 중심 K 둘레에 있는 ABGD, EZHTh라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
큰 원 ABGD에 작은 원 EZHTh와 만나지 않는 등변이면서 짝수 개의 변을 가진 다각형을 내접시켜야 한다。
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ·
왜냐하면 중심 K를 지나 직선 BKD가 그어지게 하고, 점 H로부터 직선 BD에 수직으로 HA가 그어지게 하고 그것이 G까지 연장되게 하라.
ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
그러므로 AC는 원 EZHTh에 접한다.
τέμνοντες δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΑΔ. λελείφθω, καὶ ἔστω ἡ ΛΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ, ΔΝ·
그리하여 우리가 호 BAD를 이등분하고, 그것의 반을 이등분하고, 이것을 계속 행하면 우리는 호 AD보다 작은 호를 남기게 될 것이다. 그것이 남겨졌다고 하고 그것을 LD라 하자. 그리고 L로부터 BD에 수선 LM이 그어지게 하고 N까지 연장되게 하라. 그리고 LD, DN이 이어지게 하라.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΛΝ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου·
그러므로 LD는 DN과 같다. 그리고 LN은 AC에 평행하고, AC는 원 EZHTh에 접하므로, 그러므로 LN은 원 EZHTh와 만나지 않는다.
πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ, ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
그러므로 하물며 LD, DN은 원 EZHTh와 만나지 않는다.
ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ εὐθείᾳ ἴσας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ·
따라서 만약 우리가 직선 LD와 같은 직선들을 연속해서 원 ABGD에 맞추어 넣는다면, 원 ABGD에 작은 원 EZHTh와 만나지 않는 등변이면서 짝수 개의 변을 가진 다각형이 내접될 것이다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.