§12.prop.15τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
等しい円錐および円柱においては、底面は高さに逆比例する。
καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.
また、底面が高さに逆比例する円錐および円柱は、それらは等しい。
ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΕΗ, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, οἵτινες καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ, ΕΟ κύλινδροι.
等しい円錐および円柱があるとし、それらの底面は円ABGD, EZHThであり、それらの直径はAG, EHであり、軸はKL, MN（これらはまた円錐または円柱の高さである）であるとし、円柱AX, EOが完成されているとせよ。
λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.
私は言う、円柱AX, EOの底面は高さに逆比例し、底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNは高さKLに対する。
τὸ γὰρ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ.
なぜなら、高さLKは高さMNに等しいか、等しくないかのいずれかである。
ἔστω πρότερον ἴσον.
まず等しいとせよ。
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσος.
ところで円柱AXも円柱EOに等しい。
οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις·
そして、同じ高さのもとにある円錐および円柱は互いに対して底面のようである。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒΓΔ βάσις τῇ ΕΖΗΘ βάσει.
したがって底面ABGDも底面EZHThに等しい。
ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.
ゆえに、底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNが高さKLに対する、という逆比例もまた成り立つ。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ἴσον, ἀλλʼ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψους τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοις, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον.
しかし、高さLKがMNに等しくないとせよ。 そうではなく、MNが大きいとし、高さMNからKLに等しいPNが切り取られたとし、点Pを通って円柱EOが、円EZHTh, ROの平面に平行な平面TYSによって切られたとし、底面が円EZHTh、高さがNPである円柱ESを想定せよ。 そして円柱AXは円柱EOに等しいので、したがって円柱AXが円柱ESに対するように、円柱EOは円柱ESに対する。
ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ·
ところで、円柱AXが円柱ESに対するように、底面ABGDは底面EZHThに対する。
ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσὶν οἱ ΑΞ, ΕΣ κύλινδροι·
なぜなら、円柱AX, ESは同じ高さのもとにあるからである。
ὡς δὲ ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος·
また、円柱EOが円柱ESに対するように、高さMNは高さPNに対する。
ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις.
なぜなら、円柱EOは対向する面に平行な平面によって切られているからである。
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος.
したがって、底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNは高さPNに対する。
ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψος τῷ ΚΛ ὕψει·
ところで、高さPNは高さKLに等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.
したがって、底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNは高さKLに対する。
τῶν ἄρα ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
したがって、円柱AX, EOの底面は高さに逆比例する。
ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος·
しかし、円柱AX, EOの底面が高さに逆比例するとし、底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNが高さKLに対する、とせよ。
λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.
私は言う、円柱AXは円柱EOに等しい。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος, ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψος τῷ ΠΝ ὕψει, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος.
なぜなら、同じように作図されているとき、底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNが高さKLに対する、であり、高さKLが高さPNに等しいので、したがって底面ABGDが底面EZHThに対するように、高さMNは高さPNに対する。
ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν·
ところで、底面ABGDが底面EZHThに対するように、円柱AXは円柱ESに対する（なぜなら、同じ高さのもとにあるからである）。
ὡς δὲ τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον·
また、高さMNが高さPNに対するように、円柱EOは円柱ESに対する。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ. ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.
したがって、円柱AXが円柱ESに対するように、円柱EOは円柱ESに対する。 したがって、円柱AXは円柱EOに等しい。
ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων·
同じように円錐についても示される。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。