§12.prop.15τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.
같은 원뿔들과 원기둥들에서는 밑면들이 높이들에 반비례하며, 밑면들이 높이들에 반비례하는 원뿔들과 원기둥들은 서로 같다.
ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΕΗ, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, οἵτινες καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ, ΕΟ κύλινδροι.
서로 같은 원뿔들과 원기둥들이 있다고 하자. 이것들의 밑면은 원 ABGD, EZHTh이고, 지름은 AG, EH이며, 축은 KL, MN(이것들은 또한 원뿔이나 원기둥의 높이이다)이고, 원기둥 AX, EO가 완성되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.
나는 말한다. 원기둥 AX, EO의 밑면들은 높이들에 반비례하며, 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 KL에 대한 비와 같다고.
τὸ γὰρ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ.
왜냐하면 높이 LK는 높이 MN과 같거나 같지 않다.
ἔστω πρότερον ἴσον.
먼저 같다고 하자.
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσος.
그런데 원기둥 AX 역시 원기둥 EO와 같다.
οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις·
그리고 같은 높이 아래에 있는 원뿔들과 원기둥들은 서로에 대해 밑면들의 비와 같다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒΓΔ βάσις τῇ ΕΖΗΘ βάσει.
그러므로 밑면 ABGD 역시 밑면 EZHTh와 같다.
ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.
따라서 반비례 관계 역시 성립하여, 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 KL에 대한 비와 같다.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ἴσον, ἀλλʼ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψους τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοις, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον.
그러나 이제 높이 LK가 MN과 같지 않고, MN이 더 크다고 하자. 그리고 높이 MN으로부터 KL과 같은 PN을 잘라내고, 점 P를 지나 원기둥 EO가 원 EZHTh, RO의 평면들에 평행한 평면 TYS에 의해 잘렸다고 하자. 그리고 원 EZHTh를 밑면으로 하고 높이가 NP인 원기둥 ES를 생각하자. 원기둥 AX가 원기둥 EO와 같으므로, 원기둥 AX가 원기둥 ES에 대한 비는 원기둥 EO가 원기둥 ES에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ·
그런데 원기둥 AX가 원기둥 ES에 대한 비는 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비와 같다.
ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσὶν οἱ ΑΞ, ΕΣ κύλινδροι·
왜냐하면 원기둥 AX, ES는 같은 높이 아래에 있기 때문이다.
ὡς δὲ ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος·
그리고 원기둥 EO가 원기둥 ES에 대한 비는 높이 MN이 높이 PN에 대한 비와 같다.
ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις.
왜냐하면 원기둥 EO는 마주보는 면들에 평행한 평면으로 잘려 있기 때문이다.
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος.
그러므로 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 PN에 대한 비와 같다.
ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψος τῷ ΚΛ ὕψει·
그런데 높이 PN은 높이 KL과 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.
그러므로 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 KL에 대한 비와 같다.
τῶν ἄρα ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
그러므로 원기둥 AX, EO의 밑면들은 높이들에 반비례한다.
ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος·
그러나 이제 원기둥 AX, EO의 밑면들이 높이들에 반비례한다고 하고, 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 KL에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.
나는 말한다. 원기둥 AX는 원기둥 EO와 같다고.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος, ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψος τῷ ΠΝ ὕψει, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος.
왜냐하면 동일하게 작도되었을 때, 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 KL에 대한 비와 같고, 높이 KL은 높이 PN과 같으므로, 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 높이 MN이 높이 PN에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον·
그런데 밑면 ABGD가 밑면 EZHTh에 대한 비는 원기둥 AX가 원기둥 ES에 대한 비와 같다.
ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν·
왜냐하면 그것들은 같은 높이 아래에 있기 때문이다.
ὡς δὲ τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον·
그리고 높이 MN이 높이 PN에 대한 비는 원기둥 EO가 원기둥 ES에 대한 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ. ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.
그러므로 원기둥 AX가 원기둥 ES에 대한 비는 원기둥 EO가 원기둥 ES에 대한 비와 같다. 그러므로 원기둥 AX는 원기둥 EO와 같다.
ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων·
원뿔들에 대해서도 마찬가지로 증명된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.