§12.prop.13ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.
もし円柱が、対向する面に平行な平面によって切られるならば、円柱が円柱に対するように、軸が軸に対するであろう。
κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ, ΓΔ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον·
なぜなら、円柱ADが、対向する面AB、GDに平行な平面HThによって切られているとし、平面HThが軸と点Kにおいて交わるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα.
私は言う、円柱BHが円柱HDに対するように、軸EKは軸KZに対する。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ, ΝΛ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΖΞ, ΞΜ, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονος κύλινδρος ὁ ΟΧ, οὗ βάσεις οἱ ΟΠ, ΦΧ κύκλοι.
なぜなら、軸EZが両方の側に点 L, Mまで延長されたとし、軸EKに等しい任意の個数の線分EN, NLが、またZKに等しい任意の個数の線分ZX, XMが置かれているとし、軸LM上にある円柱OX（その底面は円OP, PhChである）を想定せよ。
καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Ν, Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς ΑΒ, ΓΔ καὶ ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς ΡΣ, ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν, Ξ κέντρα.
そして点N, Xを通って、AB, GDおよび円柱OXの底面に平行な平面が延長され、点N, Xを中心とする円RS, TYを作るとせよ。
καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἱ ἄρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
そして軸LN, NE, EKは互いに等しいので、円柱PR, RB, BHは互いに対して底面のようである。
ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις·
ところで、それらの底面は等しい。
ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοις.
したがって、円柱PR, RB, BHも互いに等しい。
ἐπεὶ οὖν οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΒ κυλίνδρου.
それゆえ、軸LN, NE, EKは互いに等しく、円柱PR, RB, BHも互いに等しく、かつその個数はその個数に等しいので、軸KLが軸EKの何倍であるとしても、円柱PHも円柱HB of 同じ倍数になるであろう。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδρος τοῦ ΗΔ κυλίνδρου.
同じ理由により、軸MKが軸KZの何倍であるとしても、円柱ChHも円柱HDの同じ倍数である。
καὶ εἰ μὲν ἴσος ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ὁ ἄξων τοῦ ἄξονος, μείζων καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
そして、もし軸KLが軸KMに等しいならば、円柱PHも円柱HXに等しく、もし軸が軸より大きいならば、円柱も円柱より大きく、もし小さいならば、小さい。
τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ, ΗΔ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια, τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος, τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονος καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ ΗΧ κύλινδρος, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος, ἴσος, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
それゆえ、4つの大きさがあり、すなわち軸EK, KZと円柱BH, HDがあり、同倍数が取られている：すなわち、軸EKと円柱BHの同倍数として軸LKと円柱PHが、軸KZと円柱HDの同倍数として軸KMと円柱HXが。 そして示されたことは、もし軸KLが軸KMを上回るならば、円柱PHも円柱HXを上回り、等しければ等しく、小さければ小さいということである。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτως ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον·
したがって、軸EKが軸KZに対するように、円柱BHは円柱HDに対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§12.prop.14οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.
等しい底面の上にある円錐および円柱は、互いに対してその高さのようである。
ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.
なぜなら、等しい底面である円AB, GDの上にある円柱EB, ZDがあるとし、私は言う、円柱EBが円柱ZDに対するように、軸HThは軸KLに対する。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
なぜなら、軸KLが点Nまで延長されたとし、軸HThに等しいLNが置かれているとし、軸LNのまわりに円柱GMを想定せよ。 それゆえ円柱EB, GMは同じ高さのもとにあるので、互いに対して底面のようである。
ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις ἀλλήλαις·
ところで、それらの底面は互いに等しい。
ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι.
したがって、円柱EB, GMも等しい。
καὶ ἐπεὶ κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΛΝ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.
そして円柱ZMが、対向する面に平行な平面GDによって切られているので、したがって円柱GMが円柱ZDに対するように、軸LNは軸KLに対する。
ἴσος δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι·
ところで、円柱GMは円柱EBに等しく、軸LNは軸HThに等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.
したがって、円柱EBが円柱ZDに対するように、軸HThは軸KLに対する。
ὡς δὲ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον.
ところで円柱EBが円柱ZDに対するように、円錐ABHは円錐GDKに対する。
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον·
したがって、軸HThが軸KLに対するように、円錐ABHは円錐GDKにに対し、円柱EBは円柱ZDに対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。