§12.prop.12#3καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
iconicそして、先行するものの1つが後続するものの1つに対するように、先行するものすべては後続するものすべてに対する。
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα, οὕτως ἡ ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον·
したがって、錐体BKTLが錐体ZMONに対するように、底面が多角形ATBYGPhDChであり頂点が点Lである錐体全体も、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点が点Nである錐体全体に対する。
ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ·
それゆえに、底面が多角形ATBYGPhDChであり頂点が点Lである錐体も、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点が点Nである錐体に対して、BDがZThに対する比の3乗の比をもつ。 ところで、底面が円ABCDであり頂点が点Lである円錐も、立体Ξに対して、BDがZThに対する比の3乗の比をもつと仮定されている。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν·
したがって、底面が円ABCDであり頂点がLである円錐が立体Ξに対するように、底面が多角形ATBYGPhDChであり頂点がLである錐体も、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点がNである錐体に対する。
ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, οὕτως τὸ Ξ πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. μείζων δὲ ὁ εἰρημένος κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος·
したがって互い違いに、底面が円ABCDであり頂点がLである円錐が、その中にある底面が多角形ATBYGPhDChであり頂点がLである錐体に対するように、立体Ξも、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点がNである錐体に対する。 ところで、前述の円錐はその中にある錐体よりも大きい。
ἐμπεριέχει γὰρ αὐτήν.
なぜなら、それはそれを内包しているからである。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
したがって、立体Ξも、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点がNである錐体よりも大きい。 しかし、[それは]より小さくもある。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ. ἀνάπαλιν ἄρα τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ. ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν.
したがって、底面が円ABCDであり頂点が点Lである円錐は、底面が円EZHThであり頂点が点Nである円錐よりも小さいある立体に対して、BDがZThに対する比の3乗の比をもつことはない。 同様にして、円錐EZHThNが、円錐ABCDLよりも小さいある立体に対して、ZThがBDに対する比の3乗の比をもつことはないということも私たちは示すであろう。 さて、私は言う、円錐ABCDLは、円錐EZHThNよりも大きいある立体に対しても、BDがZThに対する比の3乗の比をもつことはないと。 なぜなら、もし可能なら、より大きい立体Ξに対して[その比を]もつとせよ。 したがって逆比により、立体Ξは円錐ABCDLに対して、ZThがBDに対する比の3乗の比をもつ。 ところで、立体Ξが円錐ABCDLに対するように、円錐EZHThNは円錐ABCDLよりも小さいある立体に対する。
καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ·
したがって円錐EZHThNもまた、円錐ABCDLよりも小さいある立体に対して、ZThがBDに対する比の3乗の比をもつ。
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
しかし、これは不可能であると示された。
οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττον.
したがって、円錐ABCDLは、円錐EZHThNよりも大きいある立体に対して、BDがZThに対する比の3乗の比をもつことはない。 また、より小さいものに対しても[その比をもつことはない]ということが示された。
ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον·
したがって、円錐ABCDLは円錐EZHThNに対して、BDがZThに対する比の3乗の比をもつ。 ところで、円錐が円錐に対するように、円柱は円柱に対する。
τριπλάσιος γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴς αὐτῷ.
なぜなら、円錐と同じ底面の上にあり、かつ高さの等しい円柱は、円錐の3倍であるからである。
καὶ ὁ κύλινδρος ἄρα πρὸς τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων·
したがって、円柱も円柱に対して、BDがZThに対する比の3乗の比をもつ。 したがって、相似な円錐および円柱は、互いに対して底面の直径の3乗の比をもつ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。