§12.prop.13ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.
만약 원기둥이 마주보는 면들에 평행한 평면으로 잘린다면, 원기둥이 원기둥에 대한 비는 축이 축에 대한 비와 같을 것이다.
κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ, ΓΔ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον·
왜냐하면 원기둥 AD가 마주보는 면 AB, GD에 평행한 평면 HTh에 의해 잘려 있고, 평면 HTh가 축과 점 K에서 만난다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα.
나는 말한다. 원기둥 BH가 원기둥 HD에 대한 비는 축 EK가 축 KZ에 대한 비와 같다고.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ, ΝΛ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΖΞ, ΞΜ, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονος κύλινδρος ὁ ΟΧ, οὗ βάσεις οἱ ΟΠ, ΦΧ κύκλοι.
왜냐하면 축 EZ가 양쪽 방향으로 점 L, M까지 연장되어 있고, 축 EK와 같은 임의의 개수의 선분 EN, NL이, 그리고 ZK와 같은 임의의 개수의 선분 ZX, XM이 놓여 있다고 하자. 그리고 축 LM 위에 있는 원기둥 OX를 생각하자. 그것의 밑면은 원 OP, PhCh이다.
καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Ν, Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς ΑΒ, ΓΔ καὶ ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς ΡΣ, ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν, Ξ κέντρα.
그리고 점 N, X를 지나 AB, GD 및 원기둥 OX의 밑면들에 평행한 평면들이 연장되어 있고, 중심 N, X 둘레에 원 RS, TY를 만든다고 하자.
καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἱ ἄρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
그리고 축 LN, NE, EK가 서로 같으므로, 원기둥 PR, RB, BH는 서로에 대해 밑면들과 같다.
ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις·
그런데 밑면들이 서로 같다.
ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοις.
그러므로 원기둥 PR, RB, BH 역시 서로 같다.
ἐπεὶ οὖν οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΒ κυλίνδρου.
그러므로 축 LN, NE, EK가 서로 같고, 원기둥 PR, RB, BH 역시 서로 같으며, 그 개수가 서로 같으므로, 축 KL이 축 EK의 몇 배이든 간에, 원기둥 PH 역시 원기둥 HB의 같은 배수가 될 것이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδρος τοῦ ΗΔ κυλίνδρου.
같은 이유로, 축 MK가 축 KZ의 몇 배이든 간에, 원기둥 ChH 역시 원기둥 HD의 같은 배수이다.
καὶ εἰ μὲν ἴσος ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ὁ ἄξων τοῦ ἄξονος, μείζων καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
그리고 만약 축 KL이 축 KM과 같다면 원기둥 PH 역시 원기둥 HX와 같을 것이고, 축이 축보다 크다면 원기둥 역시 원기둥보다 클 것이며, 작다면 작을 것이다.
τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ, ΗΔ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια, τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος, τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονος καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ ΗΧ κύλινδρος, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος, ἴσος, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
그러므로 네 개의 크기, 즉 축 EK, KZ와 원기둥 BH, HD가 있을 때, 같은 배수들이 취해졌다: 즉 축 EK와 원기둥 BH에 대해서는 축 LK와 원기둥 PH가, 축 KZ와 원기둥 HD에 대해서는 축 KM과 원기둥 HX가. 그리고 축 KL이 축 KM보다 크면 원기둥 PH 역시 원기둥 HX보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다는 것이 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτως ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον·
그러므로 축 EK가 축 KZ에 대한 비는 원기둥 BH가 원기둥 HD에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§12.prop.14οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.
같은 밑면 위에 있는 원뿔들과 원기둥들은 서로에 대하여 높이들의 비와 같다.
ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ·
왜냐하면 같은 밑면인 원 AB, GD 위에 원기둥 EB, ZD가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.
나는 말한다. 원기둥 EB가 원기둥 ZD에 대한 비는 축 HTh가 축 KL에 대한 비와 같다고.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
왜냐하면 축 KL이 점 N까지 연장되어 있고, 축 HTh와 같은 LN이 놓여 있다고 하자. 그리고 축 LN 둘레에 원기둥 GM을 생각하자. 원기둥 EB, GM은 같은 높이 아래에 있으므로, 서로에 대하여 밑면들의 비와 같다.
ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις ἀλλήλαις·
그런데 밑면들이 서로 같다.
ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι.
그러므로 원기둥 EB, GM 역시 같다.
καὶ ἐπεὶ κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΛΝ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.
그리고 원기둥 ZM이 마주보는 면들에 평행한 평면 GD에 의해 잘려 있으므로, 원기둥 GM이 원기둥 ZD에 대한 비는 축 LN이 축 KL에 대한 비와 같다.
ἴσος δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι·
그런데 원기둥 GM은 원기둥 EB와 같고, 축 LN은 축 HTh와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.
그러므로 원기둥 EB가 원기둥 ZD에 대한 비는 축 HTh가 축 KL에 대한 비와 같다.
ὡς δὲ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον.
그런데 원기둥 EB가 원기둥 ZD에 대한 비는 원뿔 ABH가 원뿔 GDK에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον·
그러므로 축 HTh가 축 KL에 대한 비는 원뿔 ABH가 원뿔 GDK에 대한 비와 같고, 원기둥 EB가 원기둥 ZD에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.