§12.prop.12#3καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
그리고 전항들 중 하나가 후항들 중 하나에 대한 비는 모든 전항들이 모든 후항들에 대한 비와 같다.
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα, οὕτως ἡ ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον·
그러므로 각뿔 BKTL이 각뿔 ZMON에 대한 비는, 밑면이 다각형 ATBYGPhDCh이고 꼭짓점이 점 L인 전체 각뿔이, 밑면이 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점이 점 N인 전체 각뿔에 대한 비와 같다.
ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ·
따라서 밑면이 다각형 ATBYGPhDCh이고 꼭짓점이 L인 각뿔이, 밑면이 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점이 점 N인 각뿔에 대한 비는 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비와 같다. 그런데 밑면이 원 ABCD이고 꼭짓점이 점 L인 원뿔도 입체 Ξ에 대하여 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다고 가정되어 있다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν·
그러므로 밑면이 원 ABCD이고 꼭짓점이 L인 원뿔이 입체 Ξ에 대한 비는, 밑면이 다각형 ATBYGPhDCh이고 꼭짓점이 L인 각뿔이 밑면이 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점이 N인 각뿔에 대한 비와 같다.
ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, οὕτως τὸ Ξ πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. μείζων δὲ ὁ εἰρημένος κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος·
그러므로 어긋바꿔 비례하면, 밑면이 원 ABCD이고 꼭짓점이 L인 원뿔이 그 안에 있는 밑면이 다각형 ATBYGPhDCh이고 꼭짓점이 L인 각뿔에 대한 비는, 입체 Ξ가 밑면이 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점이 N인 각뿔에 대한 비와 같다. 그런데 앞서 말한 원뿔은 그 안에 있는 각뿔보다 더 크다.
ἐμπεριέχει γὰρ αὐτήν.
왜냐하면 그것이 그것을 둘러싸고 있기 때문이다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
그러므로 입체 Ξ 역시 밑면이 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점이 N인 각뿔보다 더 크다. 하지만 더 작기도 하다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ. ἀνάπαλιν ἄρα τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ. ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν.
그러므로 밑면이 원 ABCD이고 꼭짓점이 점 L인 원뿔은, 밑면이 원 EZHTh이고 꼭짓점이 점 N인 원뿔보다 더 작은 어떤 입체에 대하여, BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가지지 않는다. 마찬가지로, 원뿔 EZHThN 역시 원뿔 ABCDL보다 더 작은 어떤 입체에 대하여 ZTh가 BD에 대한 비의 3제곱의 비를 가지지 않음을 보일 것이다. 이제 나는 말한다. 원뿔 ABCDL 역시 원뿔 EZHThN보다 더 큰 어떤 입체에 대하여 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가지지 않는다고. 왜냐하면 만약 가능하다면, 더 큰 입체 Ξ에 대하여 그 비를 가진다고 하자. 그러므로 바꾸어 비례하면, 입체 Ξ가 원뿔 ABCDL에 대한 비는 ZTh가 BD에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다. 그런데 입체 Ξ가 원뿔 ABCDL에 대한 비는, 원뿔 EZHThN이 원뿔 ABCDL보다 더 작은 어떤 입체에 대한 비와 같다.
καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ·
그러므로 원뿔 EZHThN 역시 원뿔 ABCDL보다 더 작은 어떤 입체에 대하여 ZTh가 BD에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다.
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
그러나 이것은 불가능하다고 증명되었다.
οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττον.
그러므로 원뿔 ABCDL은 원뿔 EZHThN보다 더 큰 어떤 입체에 대하여 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가지지 않는다. 또한 더 작은 것에 대해서도 가지지 않음이 증명되었다.
ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον·
그러므로 원뿔 ABCDL은 원뿔 EZHThN에 대하여 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다. 그런데 원뿔이 원뿔에 대한 비는 원기둥이 원기둥에 대한 비와 같다.
τριπλάσιος γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴς αὐτῷ.
왜냐하면 원뿔과 같은 밑면 위에 있고 높이가 같은 원기둥은 원뿔의 3배이기 때문이다.
καὶ ὁ κύλινδρος ἄρα πρὸς τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων·
그러므로 원기둥 역시 원기둥에 대하여 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다. 그러므로 닮은 원뿔들과 원기둥들은 서로에 대하여 밑면의 지름들의 3제곱의 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.