§12.prop.10#1πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.
모든 원뿔은 그것과 같은 밑면을 가지고 높이가 같은 원기둥의 3분의 1이다.
ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος ἴσον·
왜냐하면 어떤 원뿔이 원기둥과 같은 밑면인 원 ABCD를 가지고 높이가 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέρος, τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν.
나는 원뿔이 원기둥의 3분의 1이다, 즉 원기둥은 원뿔의 3배라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων, ἔσται ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων.
왜냐하면 만약 원기둥이 원뿔의 3배가 아니라면, 원기둥은 원뿔의 3배보다 크거나 또는 3배보다 작을 것이다.
ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
먼저 3배보다 크다고 하고, 원 ABCD에 정사각형 ABCD를 내접시키자.
τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
정사각형 ABCD는 원 ABCD의 절반보다 크다.
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲς τῷ κυλίνδρῳ.
그리고 정사각형 ABCD로부터 원기둥과 높이가 같은 각기둥을 세우자.
τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου·
그러면 세워진 각기둥은 원기둥의 절반보다 크다.
καί ἐστι τὰ ἀπʼ αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ· τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ ἀνασταθέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου·
왜냐하면 설령 원 ABCD 외부에 정사각형을 외접시킨다 하더라도, 원 ABCD에 내접한 정사각형은 외접한 정사각형의 절반이며, 그것들로부터 세워진 높이가 같은 평행육면체 입체들에 있어서, 같은 높이 아래에 있는 평행육면체 입체들은 서로 밑면의 비와 같기 때문이다. 그러므로 또한 정사각형 ABCD 위에 세워진 각기둥은 원 ABCD의 외접 정사각형으로부터 세워진 각기둥의 절반이다.
καί ἐστιν ὁ κύλινδρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου·
그리고 원기둥은 원 ABCD의 외접 정사각형으로부터 세워진 각기둥보다 작다.
τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ κυλίνδρου.
그러므로 정사각형 ABCD로부터 세워진 원기둥과 높이가 같은 각기둥은 원기둥의 절반보다 크다.
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
호 AB, BC, CD, DA를 점 E, Z, H, Th에서 각각 이등분하고, AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DTh, ThA를 잇자.
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν.
그러면 또한 삼각형 AEB, BZG, GHD, DThA 각각은 원 ABCD의 각각의 대응하는 활꼴 부분의 절반보다 크다, 앞서 우리가 증명한 바와 같이.
ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσουψῆ τῷ κυλίνδρῳ·
삼각형 AEB, BZG, GHD, DThA 각각의 위에 원기둥과 높이가 같은 각기둥을 세우자.
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, θ σημείων παραλλήλους ταῖς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ἀγάγωμεν, καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παραλληλόγραμμα, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάστου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων· καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλεπιπέδων·
그러면 또한 세워진 각기둥 각각은 원기둥의 각각의 대응하는 부분의 절반보다 크다. 왜냐하면 만약 점 E, Z, H, Th를 지나 AB, BC, CD, DA에 평행한 선들을 긋고, AB, BC, CD, DA 위에 평행사변형들을 완성하고, 그것들로부터 원기둥과 높이가 같은 평행육면체 입체들을 세운다면, 세워진 각각의 절반이 삼각형 AEB, BZG, GHD, DThA 위의 각기둥이며, 원기둥의 부분들은 세워진 평행육면체 입체들보다 작기 때문이다.
ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθʼ ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων.
그러므로 또한 삼각형 AEB, BZG, GHD, DThA 위의 각기둥들은 원기둥의 각각의 대응하는 부분의 절반보다 크다.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου.
그러므로 남겨진 호들을 이등분하고 직선들을 잇고 각각의 삼각형 위에 원기둥과 높이가 같은 각기둥을 세우는 이 일을 계속해 나간다면, 우리는 원기둥의 어떤 남은 부분들을 남기게 될 것인데, 이것들은 원기둥이 원뿔의 3배를 초과하는 그 초과분보다 작을 것이다.
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
그것들이 남겨졌다고 하고, 그것들을 AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DTh, ThA라 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖ ΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου.
그러므로 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 높이는 원기둥과 같은 남은 각기둥은 원뿔의 3배보다 크다.
ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ·
그런데 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 높이는 원기둥과 같은 각기둥은 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 꼭짓점은 원뿔과 같은 각뿔의 3배이다.
καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον.
그러므로 또한 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 꼭짓점은 원뿔과 같은 각뿔도 원 AB CD를 밑면으로 가지는 원뿔보다 크다.
ἀλλὰ καὶ ἐλάττων·
그런데 또한 작다.
ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ·
왜냐하면 그것은 그것에 의해 둘러싸여 있기 때문이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιος.
그러므로 원기둥은 원뿔의 3배보다 크지 않다.