§10.prop3.97τὸ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην.
아포토메 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제1 아포토메를 만든다.
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
AB를 아포토메, GD를 유리선이라 하고, AB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GE가 GD에 따라 응용되어 폭 GZ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.
나는 GZ가 제1 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
왜냐하면 AB에 대한 부가선을 BH라 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 AH, HB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ. ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
그리고 AH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GT가 GD에 따라 응용되고, HB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) KL이 [마찬가지로 응용되었다고 하자]. 그러므로 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
이것들 중 GE는 AB 위의 정사각형과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ·
그러므로 남은 ZL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같다. ZM이 점 N에서 이등분되고, N을 지나며 GD에 평행한 NX가 그어졌다고 하자.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, καί ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
그러므로 ZX, LN 각각은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AH, HB 위의 정사각형들이 유리적이고, DM이 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같으므로, 그러므로 DM은 유리적이다. 그리고 그것은 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 GM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 GM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, μέσον ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
다시, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 미디얼 영역이고, ZL이 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같으므로, ZL은 미디얼 영역이다. 그리고 그것은 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 ZM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ZM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΖΛ·
그리고 AH, HB 위의 정사각형들이 유리적이고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배가 미디얼 영역이므로, AH, HB 위의 정사각형들의 합은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다. 그리고 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같고, ZL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같으므로, 그러므로 DM은 ZL과 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΔΜ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.
그리고 DM이 ZL에 대한 비율은 GM이 ZM에 대한 비율과 같다. 그러므로 GM은 ZM과 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GM, MZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 GZ 는 아포토메이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.
나는 그것이 제1 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
왜냐하면 AH, HB 위의 정사각형들 사이에 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형이 비례중항이고, GT는 AH 위의 정사각형과 같고, KL은 HB 위의 정사각형과 같으며, NL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같으므로, 그러므로 GT, KL 사이에도 NL은 비례중항이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ·
그러므로 GT가 NL에 대한 비율은 NL이 KL에 대한 비율과 같다. 그러나 GT가 NL에 대한 비율은 GK가 NM에 대한 비율과 같고, NL이 KL에 대한 비율은 NM이 KM에 대한 비율과 같다.
ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
그러므로 GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 NM 위의 정사각형과 같다. 즉, ZM 위의 정사각형의 4분의 일과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, σύμμετρόν καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
그리고 AH 위의 정사각형이 HB 위의 정사각형과 통약할 수 있으므로, GT도 KL과 통약할 수 있다. 그리고 GT가 KL에 대한 비율은 GK가 KM에 대한 비율과 같다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ, καί ἐστι σύμμετρος ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 GK는 KM과 통약할 수 있다. 그러므로 GM, MZ가 두 개의 부등한 직선이고, ZM 위의 정사각형의 4분의 일과 같은, GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형이 정사각형 모양이 부족한 상태로 GM에 따라 응용되어 있으며, GK가 KM과 통약할 수 있으므로, 그러므로 GM은 MZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ἡ ΓΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει·
그리고 GM은 설정된 유리선 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.
그러므로 GZ는 제1 아포토메이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην·
그러므로 아포토메 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제1 아포토메를 만든다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.