§10.prop2.48εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.
第一二名線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
二つの数AC, CBが、それらから合成される数ABが、BCに対しては平方数と平方数との比をもち、 CAに対しては平方数と平方数との比をもたないように設定され、また、ある有理直線Dが設定され、EZがDと長さにおいて通約可能であるとせよ。 したがって、EZもまた有理直線である。 そして、数BAがACに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するように作られよ。 しかし ABはACに対して、数と数との比をもつ。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
したがって、EZの上の正方形もZHの上の正方形に対して、数と数との比をもつ。
ὥστε σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΕΖ·
ゆえに、EZの上の正方形はZHの上の正方形と通約可能である。 そして、EZは有理直線である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ZHもまた有理直線である。 そして、数BAはACに対して、平方数と平方数との比をもたないので、したがって、EZの上の正方形もZHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει.
したがって、EZはZHと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、EZ, ZHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.
λέγω, ὅτι καὶ πρώτη.
したがって、 EHは二名線である。 私は、それが第一でもあると主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
なぜなら、数BAがACに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するからであり、またBAはACよりも大きいので、したがってEZの上の正方形も ZHの上の正方形よりも大きいからである。 そこで、EZの上の正方形が、ZHおよびTの上の正方形に等しいとせよ。 そして、BAがACに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するので、したがって反転すると、ABがBCに対するように、EZの上の正方形がTの上の正方形に対する。 しかし、ABはBCに対して、平方数と平方数との比をもつ。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、EZの上の正方形もTの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもつ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει·
したがって、EZはTと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
それゆえ、EZはZHよりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形の分だけ平方において大きい。
καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΕΖ τῇ Δ μήκει.
そしてEZ, ZHは有理直線であり、かつ EZはDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη·
したがって、EHは第一二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.49εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
第二二名線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ μήκει·
二つの数AC, CBが、それらから合成される数ABが、BCに対しては平方数と平方数との比をもち、 ACに対しては平方数と平方数との比をもたないように設定され、また、有理直線Dが設定され、EZがDと長さにおいて通約可能であるとせよ。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. γεγονέτω δὴ καὶ ὡς ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
したがって、EZは有理直線である。 そしてさらに、数GAがABに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するように作られよ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、EZの上の正方形はZHの上の正方形と通約可能である。 したがって、ZHもまた有理直線である。 そして、数GAはABに対して、平方数と平方数との比をもたないので、したがって、EZの上の正方形もZHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει·
したがって、EZはZHと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、EZ, ZHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
したがって、EHは二名線である。 今や、それが第二でもあることを示さねばならない。
ἐπεὶ γὰρ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ·
なぜなら、逆に、数BAがACに対するように、HZの上の正方形がZEの上の正方形に対するからであり、またBAはACよりも大きいので、したがってHZの上の正方形はZEの上の正方形よりも大きいからである。 HZの上の正方形が、EZおよびTの上の正方形に等しいとせよ。
ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἀλλʼ ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、反転すると、ABがBCに対するように、ZHの上の正方形がTの上の正方形に対する。 しかし、ABはBCに対して、平方数と平方数との比をもつ。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、ZHの上の正方形も Tの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもつ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει·
したがって、ZHはTと長さにおいて通約可能である。
ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
ゆえに、ZHはZEよりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形の分だけ平方において大きい。
καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΖΗ, ΖΕ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ τὸ ΕΖ ἔλασσον ὄνομα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόν ἐστι τῇ Δ μήκει.
そして、ZH, ZEは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、かつ、小名であるEZは設定された有理直線であるDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα·
したがって、EHは第二二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。