§10.prop2.48εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.
첫 번째 이항선을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
두 수 AC, CB가, 그것들로부터 합성되는 수 AB가 BC에 대해서는 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지고, CA에 대해서는 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 설정되게 하고, 어떤 유리직선 D가 설정되게 하고, EZ가 D와 길이에서 통약할 수 있다고 하라. 그러므로 EZ도 또한 유리직선이다. 그리고 수 BA가 AC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라. 그런데 AB는 AC에 대해 수와 수의 비를 가진다.
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
그러므로 EZ 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 수와 수의 비를 가진다.
ὥστε σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΕΖ·
따라서 EZ 위의 정사각형은 ZH 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그리고 EZ는 유리직선이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZH도 또한 유리직선이다. 그리고 수 BA가 AC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, 그러므로 EZ 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 EZ는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 EZ, ZH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.
λέγω, ὅτι καὶ πρώτη.
그러므로 EH는 이항선이다. 나는 그것이 첫 번째 이항선이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
왜냐하면 수 BA가 AC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하고, BA가 AC보다 크므로, 그러므로 EZ 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형보다 크기 때문이다. 그러므로 EZ 위의 정사각형이 ZH, T 위의 정사각형들의 합과 같다고 하라. 그리고 BA가 AC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하므로, 그러므로 반전하면, AB가 BC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 T 위의 정사각형에 대한다. 그런데 AB는 BC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가진다.
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 EZ 위의 정사각형도 T 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가진다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει·
그러므로 EZ는 T와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 EZ는 ZH보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΕΖ τῇ Δ μήκει.
그리고 EZ, ZH는 유리직선들이며, EZ는 D와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη·
그러므로 EH는 첫 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§10.prop2.49εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
두 번째 이항선을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ μήκει·
두 수 AC, CB가, 그것들로부터 합성되는 수 AB가 BC에 대해서는 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지고, AC에 대해서는 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 설정되게 하고, 유리직선 D가 설정되게 하고, EZ가 D와 길이에서 통약할 수 있다고 하라.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. γεγονέτω δὴ καὶ ὡς ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
그러므로 EZ는 유리직선이다. 그리고 또한 수 GA가 AB에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 EZ 위의 정사각형은 ZH 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그러므로 ZH도 또한 유리직선이다. 그리고 수 GA가 AB에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, 그러므로 EZ 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει·
그러므로 EZ는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
그러므로 EZ, ZH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그러므로 EH는 이항선이다. 이제 그것이 두 번째 이항선이기도 하다는 것을 보여야 한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ·
왜냐하면 반대로, 수 BA가 AC에 대하는 것과 같이, HZ 위의 정사각형이 ZE 위의 정사각형에 대하고, BA가 AC보다 크므로, 그러므로 HZ 위의 정사각형도 ZE 위의 정사각형보다 크기 때문이다. HZ 위의 정사각형이 EZ, T 위의 정사각형들의 합과 같다고 하라.
ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἀλλʼ ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 반전하면, AB가 BC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 T 위의 정사각형에 대한다. 그런데 AB는 BC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가진다.
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 ZH 위의 정사각형도 T 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가진다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει·
그러므로 ZH는 T와 길이에서 통약할 수 있다.
ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ZH는 ZE보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΖΗ, ΖΕ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ τὸ ΕΖ ἔλασσον ὄνομα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόν ἐστι τῇ Δ μήκει.
그리고 ZH, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 작은 항인 EZ는 설정된 유리직선 D와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα·
그러므로 EH는 두 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.