§1.1#1## 1. Pappus V, 34, ed. Hultsch, p. 352.
1. パッポス『集成』第5巻34、ハルチュ版352頁。
Ταῦτα δ᾿ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἑξάεδρον, ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δ᾿ εἰκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων, οὐχ ὁμοίων δὲ πολυγώνων περιεχόμενα.
これらは、最も神聖なるプラトンにおける5つの立体、すなわち四面体、六面体、八面体、十二面体、そして5番目の二十面体だけでなく、アルキメデスによって発見された、等辺かつ等角ではあるが、相似ではない多角形によって囲まれた、その数において13の立体でもある。
Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων △Ζ καὶ ἑξαγώνων δ.
というのも、最初のものは、6つの三角形（△）と4つの六角形によって囲まれた八面体である。
Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ς΄ καὶ ἑξαγώνοις η, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄.
これに続く3つの十四面体のうち、最初のものは8つの三角形と6つの四角形によって、2番目のものは6つの四角形と8つの六角形によって、3番目のものは8つの三角形と6つの八角形によって囲まれている。
Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ιη, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβ, ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄.
これらに続く2つの二十六面体のうち、最初のものは8つの三角形と18の四角形によって、2番目のものは12の四角形、8つの六角形、そして6つの八角形によって囲まれている。
Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ καὶ πενταγώνοις ιβ, τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ.
これらに続く3つの三十二面体のうち、最初のものは20の三角形と12の五角形によって、2番目のものは12の五角形と20の六角形によって、3番目のものは20の三角形と12の十角形によって囲まれている。
Μετὰ δὲ ταῦτα ἔν ἐστιν ὁκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ καὶ τετραγώνων ς΄.
これらに続く1つの三十八面体は、32の三角形と6つの四角形によって囲まれている。
Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τργώνοις κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ.
これに続く2つの六十二面体のうち、最初のものは20の三角形、30の四角形、そして12の五角形によって、2番目のものは30の四角形、20の六角形、そして12の十角形によって囲まれている。
Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π καὶ πενταγώνοις ιβ.
これらに続く最後のものは九十二面体であり、これは80の三角形と12の五角形によって囲まれている。
Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγ τούτων σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρόπου θεωρεῖται ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις, ἐξαριθμηθεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ ε γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.
これら13の多面体のそれぞれがいくつの立体角といくつの辺を持っているかは、次のような方法によって考察される。 すなわち、立体角が単純に3つの平面角によって囲まれているような多面体については、その多面体のすべての面が持っている平面角を数え上げると、立体角の数は、得られた数の3分の1であることは明らかである。 また、立体角が4つの平面角によって囲まれているような多面体については、多面体の面が持っているすべての平面角を数え上げると、立体角の数は得られた数の4分の1である。 同様に、立体角が5つの平面角によって囲まれている多面体については、平面角の総数の5分の1が、立体角の総数となる。
Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος, ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν πολυέδρων, τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν.
また、各多面体が持つ辺の数は、次のような方法で見出すことができる。
Ἐξαριθμηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν, ἂς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχοντα τὸ πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τὸν ἐπιπέδων γωνιῶν.
すなわち、多面体を囲む平面が持つすべての辺を数え上げると、その数は平面角の総数に等しいことは明らかである。
Ἀλλ᾿ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑκὰστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῦ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου.
しかし、それぞれの辺は多面体の2つの平面に共有されているので、その総数の半分が多面体の辺の数であることは明らかである。