§13.prop.13#2Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ·
왜냐하면 직선 KTh와 일직선이 되도록 직선 ThL이 연장되고, ThL은 GB와 같게 놓이게 하라. 그리고 AC 대 GD의 비는 GD 대 GB의 비와 같고, AC는 KTh와 같고, GD는 ThE와 같고, GB는 ThL과 같으므로, 그러므로 KTh 대 ThE의 비는 ETh 대 ThL의 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ, ΕΘΛ γωνιῶν·
그러므로 KTh, ThL로 둘러싸인 직사각형은 ETh 위의 정사각형과 같다. 그리고 각 KThE, EThL 각각은 직각이다.
τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε.
그러므로 KL 위에 그려진 반원은 E도 지나갈 것이다.
ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΛ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ, ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίως γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Ζ, Η γωνιῶν·
만일 KL이 고정된 채로 반원이 회전하여 움직이기 시작한 바로 그 위치로 다시 돌아온다면, ZL, LH가 연결되고 점 Z, H에서의 각이 마찬가지로 직각이 될 때, 그것은 점 Z, H도 지나갈 것이다.
καὶ ἔσται ἡ πυραμὶς σφαίρᾳ περιειλημμένη τῇ δοθείσῃ.
그리고 각뿔은 주어진 구에 내접하게 될 것이다.
ἡ γὰρ ΚΛ τῆς σφαίρας διάμετρος ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ.
λέγω δή, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
왜냐하면 구의 지름 KL은 주어진 구의 지름 AB와 같기 때문이다. 참으로 AG와 같게 KTh가 놓였고, GB와 같게 ThL이 놓였기 때문이다. 이제 나는 구의 지름이 제곱에 있어서 각뿔 의 한 변의 1.5배라고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ·
왜냐하면 AC가 GB의 2배이므로, 그러므로 AB는 BC의 3배이다.
ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ.
그러므로 반전시키면 BA는 AC의 1.5배이다. 그리고 BA 대 AC의 비는 BA 위의 정사각형 대 AD 위의 정사각형의 비와 같다.
ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.
그러므로 BA 위의 정사각형도 AD 위의 정사각형의 1.5배이다. 그리고 BA는 주어진 구의 지름이고, AD는 각뿔의 한 변과 같다.
ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος·
그러므로 구의 지름은 제곱에 있어서 각뿔의 한 변의 1.5배이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
λῆμμα
δεικτέον, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ.
Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον.
보조정리 AB 대 BC의 비는 AD 위의 정사각형 대 DG 위의 정사각형의 비와 같음을 보여야 한다. 왜냐하면 반원의 그림을 두고, DB를 잇고, AC 위에 정사각형 EG를 그리고, 평행사변형 ZB를 완성하라.
ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΕΒ πρὸς τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ·
그러므로 삼각형 DAB가 삼각형 DAG와 등각이므로, BA 대 AD의 비는 DA 대 AC의 비와 같고, 그러므로 BA, AC로 둘러싸인 직사각형은 AD 위의 정사각형과 같다.
ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ἡ γὰρ ΔΓ κάθετος τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ·
그리고 AB 대 BC의 비는 EB 대 BZ의 비와 같고, EB는 BA, AC로 둘러싸인 직사각형이며 (왜냐하면 EA가 AC와 같기 때문이다), BZ는 AC, GB로 둘러싸인 직사각형이므로, 그러므로 AB 대 BC의 비는 BA, AC로 둘러싸인 직사각형 대 AC, GB로 둘러싸인 직사각형의 비와 같다. 그리고 BA, AC로 둘러싸인 직사각형은 AD 위의 정사각형과 같고, AC, GB로 둘러싸인 직사각형은 DG 위의 정사각형과 같다 (왜냐하면 수선 DG는 각 ADB가 직각이므로 밑변의 선분 AC, GB의 비례중항이기 때문이다). 그러므로 AB 대 BC의 비는 AD 위의 정사각형 대 DG 위의 정사각형의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.