§14.6ἀπορήσειε δʼ ἄν τις καὶ τί τὸ εὖ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῶν ἀριθμῶν τῷ ἐν ἀριθμῷ εἶναι τὴν μῖξιν, ἢ ἐν εὐλογίστῳ ἢ ἐν περιττῷ.
또한 누군가는 혼합이 수 안에, 즉 계산하기 쉬운 수 안에 있거나 홀수 안에 있음으로 인해 수로부터 생기는 좋음이 도대체 무엇인가 하고 의문을 제기할 수도 있을 것이다.
νυνὶ γὰρ οὐθὲν ὑγιεινότερον τρὶς τρία ἂν ᾖ τὸ μελίκρατον κεκραμένον, ἀλλὰ μᾶλλον ὠφελήσειεν ἂν ἐν οὐθενὶ λόγῳ ὂν ὑδαρὲς δὲ ἢ ἐν ἀριθμῷ ἄκρατον ὄν.
왜냐하면 실제로는 벌꿀술이 3 곱하기 3의 비율로 혼합되어 있다고 해서 조금도 더 건강에 좋은 것은 아니며, 오히려 아무런 비율이 없더라도 물을 타서 묽게 한 것이, 수의 비율에 맞추었더라도 순수한 것보다는 더 유익할 것이기 때문이다.
ἔτι οἱ λόγοι ἐν προσθέσει ἀριθμῶν εἰσὶν οἱ τῶν μίξεων, οὐκ ἐν ἀριθμοῖς, οἷον τρία πρὸς δύο ἀλλʼ οὐ τρὶς δύο.
게다가 혼합의 비율들은 수들의 더함에 있는 것이지 수들의 곱에 있는 것이 아니다. 예컨대 '3 대 2'인 것이지 '3 곱하기 2'가 아니다.
τὸ γὰρ αὐτὸ δεῖ γένος εἶναι ἐν ταῖς πολλαπλασιώσεσιν, ὥστε δεῖ μετρεῖσθαι τῷ τε Α τὸν στοῖχον ἐφʼ οὗ ΑΒΓ καὶ τῷ Δ τὸν ΔΕΖ·
왜냐하면 곱셈에 있어서는 동일한 유가 있어야 하므로, ABC가 있는 열은 A에 의해 측정되어야 하고, DEF는 D에 의해 측정되어야 하며, 따라서 모든 것이 동일한 것에 의해 측정되어야 하기 때문이다.
ὥστε τῷ αὐτῷ πάντα. οὔκουν ἔσται πυρὸς ΒΕΓΖ καὶ ὕδατος ἀριθμὸς δὶς τρία.
그러므로 BEΓZ로 대표되는 불과 물의 수가 '2 곱하기 3'이 될 수는 없다.
—εἰ δʼ ἀνάγκη πάντα ἀριθμοῦ κοινωνεῖν, ἀνάγκη πολλὰ συμβαίνειν τὰ αὐτά, καὶ ἀριθμὸν τὸν αὐτὸν τῷδε καὶ ἄλλῳ.
¦1 ――하지만 만약 모든 것이 수에 참여하는 것이 필연적이라면, 많은 동일한 일들이 일어나는 것도, 그리고 이 사물과 다른 사물에 동일한 수가 속하는 것도 필연적이다.
ἆρʼ οὖν τοῦτʼ αἴτιον καὶ διὰ τοῦτό ἐστι τὸ πρᾶγμα, ἢ ἄδηλον;
그렇다면 이것이 원인이고 이것 때문에 그 사물이 존재하는 것일까, 아니면 불분명한 것일까?
οἷον ἔστι τις τῶν τοῦ ἡλίου φορῶν ἀριθμός, καὶ πάλιν τῶν τῆς σελήνης, καὶ τῶν ζῴων γε ἑκάστου τοῦ βίου καὶ ἡλικίας·
예컨대 태양의 운행의 어떤 수가 있고, 다시 달의 운행에 대해서도, 그리고 동물들 각각의 수명과 나이에 대해서도 수가 있다.
τί οὖν κωλύει ἐνίους μὲν τούτων τετραγώνους εἶναι ἐνίους δὲ κύβους, καὶ ἴσους τοὺς δὲ διπλασίους;
그렇다면 이것들 중 일부는 제곱수이고 일부는 세제곱수이며, 어떤 것들은 같고 어떤 것들은 두 배가 되는 것을 무엇이 막겠는가?
οὐθὲν γὰρ κωλύει, ἀλλʼ ἀνάγκη ἐν τούτοις στρέφεσθαι, εἰ ἀριθμοῦ πάντα ἐκοινώνει.
아무것도 막지 못한다. 오히려 모든 것이 수에 참여한다면 이러한 한계 안에서 순환하는 것이 필연적이다.
ἐνεδέχετό τε τὰ διαφέροντα ὑπὸ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν πίπτειν·
또한 서로 다른 것들이 동일한 수 아래에 들어가는 것도 가능했다.
ὥστʼ εἴ τισιν ὁ αὐτὸς ἀριθμὸς συνεβεβήκει, ταὐτὰ ἂν ἦν ἀλλήλοις ἐκεῖνα τὸ αὐτὸ εἶδος ἀριθμοῦ ἔχοντα, οἷον ἥλιος καὶ σελήνη τὰ αὐτά.
따라서 만약 어떤 것들에 동일한 수가 부대했다면, 동일한 수의 형상을 가진 그것들은 서로 같았을 것이다. 예컨대 태양과 달이 같았을 것처럼 말이다.
ἀλλὰ διὰ τί αἴτια ταῦτα;
그런데 왜 이것들이 원인인가?
ἑπτὰ μὲν φωνήεντα, ἑπτὰ δὲ χορδαὶ ἡ ἁρμονία, ἑπτὰ δὲ αἱ πλειάδες, ἐν ἑπτὰ δὲ ὀδόντας βάλλει (ἔνιά γε, ἔνια δʼ οὔ), ἑπτὰ δὲ οἱ ἐπὶ Θήβας.
모음은 일곱이고, 하프 현도 일곱이며, 플레이아데스 성단도 일곱이고, 어떤 동물은 일곱 살에 이가 나며(어떤 것은 그렇고 어떤 것은 그렇지 않지만), 테베를 공격한 자들도 일곱이다.
ἆρʼ οὖν ὅτι τοιοσδὶ ὁ ἀριθμὸς πέφυκεν, διὰ τοῦτο ἢ ἐκεῖνοι ἐγένοντο ἑπτὰ ἢ ἡ πλειὰς ἑπτὰ ἀστέρων ἐστίν;
그렇다면 수가 본성상 이와 같기 때문에 테베를 공격한 자들이 일곱이 되었거나 플레이아데스가 일곱 개의 별로 이루어진 것일까?
ἢ οἱ μὲν διὰ τὰς πύλας ἢ ἄλλην τινὰ αἰτίαν, τὴν δὲ ἡμεῖς οὕτως ἀριθμοῦμεν, τὴν δὲ ἄρκτον γε δώδεκα, οἱ δὲ πλείους·
아니면 장수들의 경우는 성문이나 다른 어떤 원인 때문이고, 성단의 경우는 우리가 그렇게 셀 뿐이며, 큰곰자리는 열둘로 세기도 하고 더 많게 세기도 하기 때문일까?
ἐπεὶ καὶ τὸ ΞΨΖ συμφωνίας φασὶν εἶναι, καὶ ὅτι ἐκεῖναι τρεῖς, καὶ ταῦτα τρία·
그들은 Ξ, Ψ, Ζ도 협화음과 관련이 있다고 말하며, 협화음이 셋이고 이것들도 셋이기 때문이라고 한다.
ὅτι δὲ μυρία ἂν εἴη τοιαῦτα, οὐθὲν μέλει (τῷ γὰρ Γ καὶ Ρ εἴη ἂν ἓν σημεῖον)·
하지만 그런 것은 무수히 많을 수 있으니 아무래도 상관없다(왜냐하면 Γ와 Ρ에 대해서도 하나의 기호가 있을 수 있기 때문이다).
εἰ δʼ ὅτι διπλάσιον τῶν ἄλλων ἕκαστον, ἄλλο δʼ οὔ, αἴτιον δʼ ὅτι τριῶν ὄντων τόπων ἓν ἐφʼ ἑκάστου ἐπιφέρεται τῷ σίγμα, διὰ τοῦτο τρία μόνον ἐστὶν ἀλλʼ οὐχ ὅτι αἱ συμφωνίαι τρεῖς, ἐπεὶ πλείους γε αἱ συμφωνίαι, ἐνταῦθα δʼ οὐκέτι δύναται.
그러나 만약 이것들 각각이 다른 글자들의 두 배이고 다른 것은 그렇지 않기 때문이라거나, 그 원인이 세 개의 조음 위치가 있어서 각각의 위치에서 시그마가 하나씩 덧붙여지기 때문이라고 한다면, 바로 이 때문에 오직 셋만 있는 것이지 협화음이 셋이기 때문이 아니다. 왜냐하면 협화음은 사실 더 많지만, 여기서는 더 이상 불가능하기 때문이다.
ὅμοιοι δὴ καὶ οὗτοι τοῖς ἀρχαίοις Ὁμηρικοῖς, οἳ μικρὰς ὁμοιότητας ὁρῶσι μεγάλας δὲ παρορῶσιν.
실로 이 사람들도 작은 유사점은 보면서 큰 유사점은 간과하는 옛 호메로스 해석가들과 비슷하다.
λέγουσι δέ τινες ὅτι πολλὰ τοιαῦτα, οἷον αἵ τε μέσαι ἡ μὲν ἐννέα ἡ δὲ ὀκτώ, καὶ τὸ ἔπος δεκαεπτά, ἰσάριθμον τούτοις, βαίνεται δʼ ἐν μὲν τῷ δεξιῷ ἐννέα συλλαβαῖς, ἐν δὲ τῷ ἀριστερῷ ὀκτώ· καὶ ὅτι ἴσον τὸ διάστημα ἔν τε τοῖς γράμμασιν ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸ Ω, καὶ ἀπὸ τοῦ βόμβυκος ἐπὶ τὴν ὀξυτάτην ἐν αὐλοῖς, ἧς ὁ ἀριθμὸς ἴσος τῇ οὐλομελείᾳ τοῦ οὐρανοῦ.
또한 어떤 이들은 그러한 사례가 많다고 말하는데, 예컨대 중음들 중 하나는 9이고 다른 하나는 8이며, 또한 서사시의 시행은 17음절로 이루어져 이들의 합과 같고, 그 격률의 걸음은 오른쪽 반은 9음절로, 왼쪽 반은 8음절로 밟힌다고 하며, ¦1 또한 글자에서 A부터 Ω까지의 간격은, 아울로스의 가장 낮은 음에서 가장 높은 음까지의 간격과 같고, 그 음의 수는 하늘 전체의 구성 요소의 수와 같다고 한다.
ὁρᾶν δὲ δεῖ μὴ τοιαῦτα οὐθεὶς ἂν ἀπορήσειεν οὔτε λέγειν οὔθʼ εὑρίσκειν ἐν τοῖς ἀϊδίοις, ἐπεὶ καὶ ἐν τοῖς φθαρτοῖς.
하지만 이와 같은 것들에 대해서는 영원한 것들 안에서 말하거나 발견하는 것을 누구도 어렵게 여기지 않을 것이라는 점에 주의해야 한다. 왜냐하면 소멸하는 것들 안에서조차 그러하기 때문이다.
ἀλλʼ αἱ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσεις αἱ ἐπαινούμεναι καὶ τὰ τούτοις ἐναντία καὶ ὅλως τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν, ὡς μὲν λέγουσί τινες καὶ αἴτια ποιοῦσι τῆς φύσεως, ἔοικεν οὑτωσί γε σκοπουμένοις διαφεύγειν (κατʼ οὐδένα γὰρ τρόπον τῶν διωρισμένων περὶ τὰς ἀρχὰς οὐδὲν αὐτῶν αἴτιον)·
그러나 수들에 있어서 칭송받는 성질들과 그것들의 반대되는 것들, 그리고 일반적으로 수학적인 것들 안에 있는 것들은, 어떤 이들이 그것들을 말하며 자연의 원인으로 삼는 방식으로는, 이와 같이 고찰하는 사람들의 손에서 빠져나가는 것처럼 보인다. 왜냐하면 원리들에 관해 규정된 어떤 방식으로도 그것들 중 어느 것도 원인이 아니기 때문이다.
ἔστιν ὡς μέντοι ποιοῦσι φανερὸν ὅτι τὸ εὖ ὑπάρχει καὶ τῆς συστοιχίας ἐστὶ τῆς τοῦ καλοῦ τὸ περιττόν, τὸ εὐθύ, τὸ ἰσάκις ἴσον, αἱ δυνάμεις ἐνίων ἀριθμῶν·
그러나 그들이 그것들을 원인으로 만드는 방식에 의해 분명해지는 것은 좋음이 존재한다는 것이며, 아름다움의 대조표에 홀수, 직선, 같은 곱하기 같음, 일부 수들의 거듭제곱이 속한다는 점이다.
ἅμα γὰρ ὧραι καὶ ἀριθμὸς τοιοσδί·
왜냐하면 계절들과 이와 같은 수가 동시에 존재하기 때문이다.
καὶ τὰ ἄλλα δὴ ὅσα συνάγουσιν ἐκ τῶν μαθηματικῶν θεωρημάτων πάντα ταύτην ἔχει τὴν δύναμιν.
그리고 그들이 수학적 정리들로부터 이끌어내는 다른 모든 것도 이와 동일한 힘을 가진다.
διὸ καὶ ἔοικε συμπτώμασιν·
그러므로 이것들은 우연한 일치와 비슷하다.
ἔστι γὰρ συμβεβηκότα μέν, ἀλλʼ οἰκεῖα ἀλλήλοις πάντα, ἓν δὲ τῷ ἀνάλογον·
왜냐하면 그것들은 부대하는 것들이기는 하지만 모두 서로에게 친화적이며, 유비에 의해 하나이기 때문이다.
ἐν ἑκάστῃ γὰρ τοῦ ὄντος κατηγορίᾳ ἐστὶ τὸ ἀνάλογον, ὡς εὐθὺ ἐν μήκει οὕτως ἐν πλάτει τὸ ὁμαλόν, ἴσως ἐν ἀριθμῷ τὸ περιττόν, ἐν δὲ χροιᾷ τὸ λευκόν. —ἔτι οὐχ οἱ ἐν τοῖς εἴδεσιν ἀριθμοὶ αἴτιοι τῶν ἁρμονικῶν καὶ τῶν τοιούτων (διαφέρουσι γὰρ ἐκεῖνοι ἀλλήλων οἱ ἴσοι εἴδει·
왜냐하면 존재하는 것의 각 범주에 유비적인 것이 존재하기 때문이다. 예컨대 길이에서의 직선이, 너비에서의 평평함, 수에서의 아마도 홀수, 색에서의 하양에 대응하는 것과 같다.――게다가 형상들인 수들이 조화적인 관계들이나 그와 같은 것들의 원인인 것도 아니다(왜냐하면 형상에 있어서 같은 수들도 서로 다르기 때문이다.
καὶ γὰρ αἱ μονάδες)·
왜냐하면 그것들의 단위들도 다르기 때문이다).
ὥστε διά γε ταῦτα εἴδη οὐ ποιητέον.
따라서 적어도 이와 같은 이유들 때문에 형상들을 만들어서는 안 된다.
τὰ μὲν οὖν συμβαίνοντα ταῦτά τε κἂν ἔτι πλείω συναχθείη·
그러므로 일어나는 결과들은 이것들 이며, 더 많이 수집될 수도 있을 것이다.
ἔοικε δὲ τεκμήριον εἶναι τὸ πολλὰ κακοπαθεῖν περὶ τὴν γένεσιν αὐτῶν καὶ μηδένα τρόπον δύνασθαι συνεῖραι τοῦ μὴ χωριστὰ εἶναι τὰ μαθηματικὰ τῶν αἰσθητῶν, ὡς ἔνιοι λέγουσι, μηδὲ ταύτας εἶναι τὰς ἀρχάς.
그러나 그들이 수들의 생성에 관해 많은 고초를 겪고 어떤 방식으로도 일관되게 연결 짓지 못한다는 사실은, 몇몇 사람들이 말하는 것처럼 수학적인 것들이 감각적인 것들로부터 분리되어 있지 않으며, 이것들이 원리도 아니라는 증거인 것 같다.