§1ἎΡΑ γ’ εἰσὶν ἄτομοι γραμμαί, καὶ ὅλως ἐν ἅπασι τοῖς ποσοῖς ἐστί τι ἀμερές, ὥσπερ ἔνιοί φασιν;
과연 불가분한 선이 존재하는가, 그리고 일반적으로 모든 양에 있어서 어떤 불가분한 것이 존재하는가, 일부 사람들이 말하는 것처럼?
Εἰ γὰρ ὁμοίως ὑπάρχει τό τε πολὺ καὶ τὸ μέγα καὶ τὰ ἀντικείμενα τούτοις, τό τε ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν, τὸ δ' ἀπείρους σχεδὸν διαιρέσεις ἔχον οὐκ ἔστιν ὀλίγον ἀλλὰ πολύ, φανερὸν ὅτι πεπερασμένας ἕξει τὰς διαιρέσεις τὸ ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν·
왜냐하면 만약 '많음'과 '큼', 그리고 이것들의 반대인 '적음'과 '작음'이 동일한 방식으로 존재하고, 거의 무한한 분할을 가진 것이 '적음'이 아니라 '많음'이라면, '적음'과 '작음'은 유한한 분할을 가질 것이 분명하기 때문이다.
εἰ δὲ πεπερασμέναι αἱ διαιρέσεις, ἀνάγκη τι εἶναι ἀμερὲς μέγεθος, ὥστε ἐν ἅπασιν ἐνυπάρξει τι ἀμερές, ἐπείπερ καὶ τὸ ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν.
그리고 만약 분할이 유한하다면, 어떤 불가분한 크기가 존재해야만 하며, 따라서 '적음'과 '작음'에 그것이 존재하는 한, 모든 것 안에도 어떤 불가분한 것이 내재할 것이다.
§2Ἔτι εἰ ἔστιν δέα γραμμῆς, ἡ δ' ἰδέα πρώτη τῶν συνωνύμων, τὰ δὲ μέρη πρότερα τοῦ ὅλου τὴν φύσιν, διαιρετὴ ἂν εἴη αὐτὴ ἡ γραμμή, τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ τρίγωνον καὶ τὰ ἄλλα σχήματα, καὶ ὅλως ἐπίπεδον αὐτὸ καὶ σῶμα·
더욱이 만약 '선의 이데아'가 존재하고, 이데아는 동음이의어(동의적 대상)들보다 우선하며, 부분은 전체보다 자연에 있어서 우선한다면, 선 자체는 분할 가능할 것이다. 동일한 방식으로 정사각형과 삼각형, 그리고 다른 도형들, 그리고 일반적으로 평면 자체와 입체도 그러할 것이다.
συμβήσεται γὰρ πρότερ’ ἅττα εἶναι τούτων.
왜냐하면 이것들보다 우선하는 어떤 것들이 존재한다는 결과가 되기 때문이다.
§3Ἔτι εἰ σώματός ἐστι στοιχεῖα, τῶν δὲ στοιχείων μηδὲν πρότερον, τὰ δὲ μέρη τοῦ ὅλου πρότερα, ἀδιαίρετον ἂν εἴη τὸ πῦρ καὶ ὅλως τῶν τοῦ σώματος στοιχείων ἕκαστον, ὥστ’ οὐ μόνον ἐν τοῖς νοητοῖς ἀλλὰ καὶ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ἐστί τι ἀμερές.
더욱이 만약 물체의 원소가 존재하고, 원소보다 우선하는 것은 아무것도 없으며, 부분은 전체보다 우선한다면, 불과 일반적으로 물체의 원소 각각은 불가분할 것이다. 따라서 지성적인 것들 안에서뿐만 아니라 감각적인 것들 안에서도 어떤 불가분한 것이 존재한다.
§4Ἔτι δὲ κατὰ τὸν Ζήνωνος λόγον ἀνάγκη τι μέγεθος ἀμερὲς εἶναι, εἴπερ ἀδύνατον μὲν ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ ἀπείρων ἄψασθαι, καθ’ ἕκαστον ἁπτόμενον, ἀνάγκη δ' ἐτὶ τὸ ἥμισυ πρότερον ἀφικνεῖσθαι τὸ κινούμενον, τοῦ δὲ μὴ ἀμεροῦς πάντως ἔστιν ἥμισυ.
더욱이 제논의 논증에 따르면, 유한한 시간 안에 무한히 많은 것들에 일일이 접촉하는 것이 불가능하고, 운동하는 것은 먼저 그 절반에 도달해야만 하며, 불가분하지 않은 것에는 항상 절반이 존재한다면, 어떤 불가분한 크기가 존재해야만 한다.
§5Εἰ δὲ καὶ ἅπτεται τῶν ἀπείρων ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς φερόμενον, τὸ δὲ θᾶττον ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ πλε῀εῖον διανύει, ταχίστη δ' τῆς διανοίας κίνησις, κἂν ἡ διάνοια τῶν ἀπείρων ἐφάπτοιτο καθ’ ἕκαστον ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ, ὥστε εἰ τὸ καθ’ ἕκαστον ἅπτεσθαι τὴν διάνοιαν ἀριθμεῖν ἐστίν, ἐνδέχεται ἀριθμεῖν τὰ ἄπειρα ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ.
그러나 만약 선 위를 이동하는 것이 유한한 시간 안에 무한히 많은 것들에 접촉하고, 더 빠른 것은 동일한 시간 안에 더 많은 것을 지나가며, 사유의 운동이 가장 빠르다면, 사유 또한 유한한 시간 안에 무한히 많은 것들에 일일이 접촉할 것이다. 따라서 사유가 일일이 접촉하는 것이 수를 세는 것이라면, 유한한 시간 안에 무한한 것들을 세는 것이 가능해진다.
§6Εἰ δὲ τοῦτο ἀδύνατον, εἴη ἄν τις ἄτομος γραμμή.
만약 이것이 불가능하다면, 어떤 불가분한 선이 존재할 것이다.
Ἔτι καὶ ἐξ ὦν αὐτοὶ οἱ ἐν τοῖς μαθήμασι λέγουσιν, εἴη ἄν τις ἄτομος γραμμή, ὡς φασίν, εἰ σύμμετροί εἰσὶν αἱ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμεναι·
더욱이 수학자들 스스로가 말하는 바에 의하더라도 어떤 불가분한 선이 존재할 것인데, 그들의 주장처럼, 동일한 척도로 측량되는 것들이 공도불능이 아니라면(통약 가능하다면) 그러하다.
ὅσαι δ' εἰσὶ σύμμετροι, πᾶσαί εἰσι μετρούμεναι.
그리고 통약 가능한 것들은 모두 측량된다.
Εἴη γὰρ ἄν τι μῆκος πᾶσαι μετρηθήσονται.
왜냐하면 모든 것이 그것에 의해 측량되는 어떤 길이가 존재할 것이기 때문이다.
Τοῦτο δ’ ἀνάγκη ἀδιαίρετον εἶναι.
그리고 이것은 불가분해야만 한다.
§7Εἰ γὰρ διαιρετόν, καὶ τὰ μέρη μέτρου τινὸς ἔσται·
왜냐하면 만약 그것이 분할 가능하다면, 그 부분들 또한 어떤 척도를 가질 것이기 때문이다.
σύμμετρα γὰρ τῷ ὅλῳ.
부분들은 전체와 통약 가능하기 때문이다.
Ὤστε μέρους τινὸς εἴη διπλασία τὴν ἡμίσειαν, ἐπειδὴ τοῦτ’ ἀδύνατον ἂν εἴη μέτρον.
따라서 절반은 어떤 부분의 두 배가 될 터인데, 이는 척도로서는 불가능한 일이기 때문이다.
§8Ὠσαύτως δὲ καὶ αἱ μετρούμεναι ἅπαξ ὑπ’ αὐτοῦ, ὥσπερ πᾶσαι αἱ ἐκ τοῦ μέτρου σύνθετοι γραμμαί, ἐξ ἀμερῶν σύγκεινται.
마찬가지로 그것에 의해 단 한 번 측량되는 선들도, 그 척도로부터 합성된 모든 선과 마찬가지로, 불가분한 것들로 구성되어 있다.
Τὸ δ’ αὐτὸ συμβήσεται κἀν τοῖς ἐπιπέδοις·
그리고 동일한 일이 평면에서도 발생할 것이다.
πάντα γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ῥητῶν γραμμῶν σύμμετρα ἀλλήλοις, ὥστε ἔσται τὸ μέτρον αὐτῶν ἀμερές.
왜냐하면 유리적인 선들로부터 생기는 모든 평면은 서로 통약 가능하므로, 그것들의 척도는 불가분할 것이기 때문이다.
§9Ἀλλὰ μὴν εἴ τι τμηθήσεται μέτρον τινὰ τεταγμένην καὶ ὡρισμένην γραμμήν, οὐκ ἔσται οὔτε ῥητὴ οὔτ’ ἄλογος, οὔτε τῶν ἄλλων οὐδεμία ὦν νῦν δὴ εἴρηται, οἷον ἀποτομὴν ἐκ δυοῖν ὀνομάτοιν·
하지만 만약 어떤 척도가 정해지고 규정된 어떤 선을 분할한다면, 그것은 유리적이지도 무리적이지도 않을 것이며, 방금 말한 다른 어떤 것(예를 들어 이항선이나 아포토메)도 아닐 것이다.
ἀλλὰ καθ’ αὐτὰς μὲν οὐδέ τινας ἕξουσι φύσεις, πρὸς ἀλλήλας δὲ ἔσονται ῥηταὶ καὶ ἄλογοι.
오히려 그것들은 자체적으로는 아무런 특정 성질도 가지지 않지만, 서로에 대해서는 유리적이거나 무리적일 것이다.
§10Ἣ πρῶτον μὲν οὐκ ἀνάγκη τὸ ἀπείρους ἔχον διαιρέσεις μὴ εἶναι μικρὸν καὶ ὀλίγον·
혹은, 첫째로, 무한한 분할을 가진 것이 작거나 적지 않아야 한다는 것은 필연적이지 않다.
καὶ γὰρ τόπον καὶ μέγεθος καὶ ὅλως τὸ συνεχὲς μικρὸν μὲν λέγομεν, καὶ ἐφ’ ὦν μὲν ἁρμόττει τὸ ὀλίγον, οὐ μὴν ἀλλ’ ἀπείρους διαιρέσεις φαμὲν ἔχειν.
왜냐하면 우리는 장소나 크기, 그리고 일반적으로 연속체에 대해 한편으로는 작다고 말하고(그것이 어울리는 곳에서는 적다고 말하지만), 그것들이 무한한 분할을 가진다고 말하기 때문이다.
Ἔτι δ' εἰ ἐν τῷ συνθέτῳ γραμμαί, κατὰ τούτων τῶν ἀτόμων λέγεται τὸ μικρόν, καὶ ἄπειροι στιγμαὶ ἐνυπάρχουσιν.
더욱이 만약 복합체 안에 선들이 존재하고, 이들 불가분한 것들에 대해 작다는 말이 적용되며, 또한 무한한 점들이 내재한다면,...