§18.1## 18. Uulgo prop. LXXXVII.
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος δοθέντι μεῖζον ᾖ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.
## 18. 通常为命题 LXXXVII。 若两条直线在给定的角中包围一给定的面积，且在较大直线上的正方形比在较小直线上的正方形大一给定的面积，则它们各自也是给定的。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν περιεχέτωσαν χωρίον τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ·
因为，设两条直线 AB、BC 在给定的角 ABC 中包围一给定的面积 AC，且在 AB 上的正方形比在 BC 上的正方形大一给定的面积。
λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BA, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ δοθέν, λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθείς.
我说明，AB、BC 各自都是给定的。 因为，既然在 AB 上的正方形比在 BC 上的正方形大一给定的面积，设减去给定的由 AB、BD 包围的面积；因此，剩余的由 BA、AD 包围的面积等于在 BC 上的正方形。 又因为由 AB、BC 包围的面积是给定的，且由 AB、BD 包围的面积也是给定的，所以由 AB、BD 包围的面积与由 AB、BC 包围的面积之比是给定的。
καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς ΒΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθείς.
正如由 AB、BD 包围的面积与由 AB、BC 包围的面积之比，DB 与 BC 之比亦然；因此 DB 与 BC 之比也是给定的；因此在 DB 上的正方形与在 BC 上的正方形之比也是给定的。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς· καὶ τοῦ τετράκις ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος δοθείς.
而在 GB 上的正方形等于由 BA、AD 包围的面积；因此由 BA、AD 包围的面积与在 DB 上的正方形之比也是给定的；因此，四倍的由 BA、AD 包围的面积加上在 DB 上的正方形，与在 BD 上的正方形之比是给定的。
ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ ἐστιν· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ πρὸς ΔΒ δοθείς.
但是，四倍的由 BA、AD 包围的面积加上在 BD 上的正方形，是在 BA 和 AD 合起来的线段上的正方形；因此在 BA 和 AD 合起来的线段上的正方形与在 DB 上的正方形之比是给定的；因此 BA 和 AD 合起来的线段与 DB 之比也是给定的。
καὶ συνθέντι συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ μετὰ τῆς ΔΒ, τουτέστι δύο τῶν ΑΒ πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς·
且合比（componendo）之后，BA 和 AD 合起来的线段加上 DB（即两倍的 AB）与 BD 之比是给定的；因此 AB 与 BD 之比也是给定的。
καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ λόγος δοθείς.
而 DB 与 BC 之比是给定的；因此 AB 与 BC 之比也是给定的。
καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΔ δοθείς, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ δοθείς.
又因为 AB 与 BD 之比是给定的，且正如 AB 与 BD 之比，AB 上的正方形与由 AB、BD 包围的面积之比亦然，所以在 AB 上的正方形与由 AB、BD 包围的面积之比也是给定的。
δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ· οὕτως γὰρ δοθὲν ἀφῄρηται· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
而由 AB、BD 包围的面积是给定的；因为它是作为给定的面积被减去的；因此在 AB 上的正方形也是给定的；因此 AB 是给定的。
δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΒ. καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΓ.
且 AB 与 BC 之比是给定的；因此 BC 也是给定的。
§18.2## Λῆμμα τοῦ ἐπάνω.
## 上述命题的引理。
Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας;
当角 ABC 被假定为钝角时，如何说明由 AB、BC 包围的矩形是给定的？
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου κάθετος ἡ ΒΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΒΔΘΑ ὀρθογώνιον·
设自点 B 引垂线 BD，且使 CD 延长至 Θ，并补足矩形 BDΘA；因此它等于 AC。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τῷ ΑΓ. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΒΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΖ ὀρθογώνιον.
且使 DB 延长至 Z，并设 BZ 等于 BC，且补足矩形 AZ。
ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὑπόκειται γάρ· δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· ὀρθὴ γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΓ δοθεῖσά ἐστιν.
因为，角 ABC 是给定的（因为它是假定的）；而角 ABD 也是给定的（因为它是直角）；所以剩余的角 DBC 是给定的。
καὶ ὀρθὴ ἡ Δ· λοιπὴ ἄρα, ἡ Γ δοθεῖσά ἐστιν· δοθὲν ἄρα τὸ ΒΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς.
且角 D 是直角；所以剩余的角 C 是给定的；因此三角形 BCD 在形状上是给定的；因此 DB 与 BC 之比是给定的。
ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΖ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΖ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΒΘ πρὸς ΖΑ λόγος δοθείς.
而 BC 等于 BZ；因此 DB 与 BZ 之比也是给定的；所以 BΘ 与 ZA 之比也是给定的。
ἴσον δὲ τὸ ΒΘ τῷ ΑΓ· λόγος ἄρα τοῦ ΑΓ πρὸς ΑΖ δοθείς.
而 BΘ 等于 AC；因此 AC 与 AZ 之比是给定的。
καὶ δοθὲν τὸ ΑΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΒΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ AΒΓ.
而 AC 是给定的；因此 AZ 也是给定的，即由 AB、BZ 包围的矩形，即由 AB、BC 包围的矩形。