§18.1## 18.
## 18.
Uulgo prop. LXXXVII.
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος δοθέντι μεῖζον ᾖ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.
통칭 제87명제. 만약 두 직선이 주어진 각에서 주어진 넓이를 둘러싸고, 큰 직선 위의 정사각형이 작은 직선 위의 정사각형보다 주어진 넓이만큼 크다면, 그 각각도 주어질 것이다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν περιεχέτωσαν χωρίον τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ·
왜냐하면, 두 직선 AB, BC가 주어진 각 ABC에서 주어진 넓이 AC를 둘러싸고, AB 위의 정사각형이 BC 위의 정사각형보다 주어진 넓이만큼 크다고 하자.
λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ·
나는 AB, BC 각각이 주어졌음을 주장한다. 왜냐하면 AB 위의 정사각형이 BC 위의 정사각형보다 주어진 넓이만큼 크므로, 주어진 넓이인 AB, BD에 의한 직사각형을 뺏다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BA, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ δοθέν, λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθείς.
그러면 남은 BA, AD에 의한 직사각형은 BC 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB, BC에 의한 직사각형이 주어져 있고, 또한 AB, BD에 의한 직사각형도 주어져 있으므로, AB, BD에 의한 직사각형과 AB, BC에 의한 직사각형의 비도 주어진다.
καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς ΒΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς·
그리고 AB, BD에 의한 직사각형과 AB, BC에 의한 직사각형의 비는 DB와 BC의 비와 같으므로, DB와 BC의 비도 주어진다.
λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθείς.
따라서 DB 위의 정사각형과 BC 위의 정사각형의 비도 주어진다.
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς·
그런데 GB 위의 정사각형은 BA, AD에 의한 직사각형과 같으므로, BA, AD에 의한 직사각형과 DB 위의 정사각형의 비도 주어진다.
καὶ τοῦ τετράκις ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος δοθείς.
따라서 BA, AD에 의한 직사각형의 4배에 DB 위의 정사각형을 더한 것과 BD 위의 정사각형의 비도 주어진다.
ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ ἐστιν·
그러나 BA, AD에 의한 직사각형의 4배에 BD 위의 정사각형을 더한 것은 BA와 AD를 합한 것 위의 정사각형이다.
λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς·
따라서 BA와 AD를 합한 것 위의 정사각형과 DB 위의 정사각형의 비도 주어진다.
λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ πρὸς ΔΒ δοθείς.
따라서 BA와 AD를 합한 것과 DB의 비도 주어진다.
καὶ συνθέντι συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ μετὰ τῆς ΔΒ, τουτέστι δύο τῶν ΑΒ πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς·
그리고 더하면(componendo), BA와 AD를 합한 것에 DB를 더한 것, 즉 AB의 2배와 BD의 비가 주어진다.
καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς.
따라서 AB와 BD의 비도 주어진다.
τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ λόγος δοθείς.
그리고 DB와 BC의 비가 주어져 있으므로, AB와 BC의 비도 주어진다.
καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΔ δοθείς, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ δοθείς.
그리고 AB와 BD의 비가 주어져 있고, AB와 BD의 비는 AB 위의 정사각형과 AB, BD에 의한 직사각형의 비와 같으므로, AB 위의 정사각형과 AB, BD에 의한 직사각형의 비도 주어진다.
δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ·
그런데 AB, BD에 의한 직사각형은 주어져 있다.
οὕτως γὰρ δοθὲν ἀφῄρηται·
왜냐하면 그렇게 주어진 것으로서 빼졌기 때문이다.
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
따라서 AB 위의 정사각형도 주어진다.
δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΒ. καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΓ.
따라서 AB는 주어진다. 그리고 AB와 BC의 비가 주어져 있으므로, BC도 주어진다.
§18.2## Λῆμμα τοῦ ἐπάνω.
## 위의 명제에 대한 보조정리.
Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας;
각 ABC가 둔각이라고 가정되었을 때, 어떻게 AB, BC에 의한 직사각형이 주어지는가?
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου κάθετος ἡ ΒΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΒΔΘΑ ὀρθογώνιον·
B 점으로부터 수선 BD를 긋고, CD를 Θ로 연장하고, 직사각형 BDΘA를 완성하자.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τῷ ΑΓ. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΒΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΖ ὀρθογώνιον.
그러면 그것은 AC와 같다. 그리고 DB를 Z로 연장하고, BC와 같은 BZ를 취하고, 직사각형 AZ를 완성하자.
ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὑπόκειται γάρ· δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· ὀρθὴ γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΓ δοθεῖσά ἐστιν.
그러면 각 ABC는 주어져 있고(왜냐하면 가정되었으므로), 각 ABD도 주어져 있으므로(왜냐하면 직각이므로), 남은 각 DBC는 주어진다.
καὶ ὀρθὴ ἡ Δ· λοιπὴ ἄρα, ἡ Γ δοθεῖσά ἐστιν·
그리고 각 D는 직각이므로, 남은 각 C도 주어진다.
δοθὲν ἄρα τὸ ΒΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει·
따라서 삼각형 BCD는 닮음형태가 결정된다(주어진다).
λόγος ἄρα τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς.
따라서 DB와 BC의 비는 주어진다.
ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΖ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΖ δοθείς·
그런데 BC는 BZ와 같으므로, DB와 BZ의 비도 주어진다.
ὥστε καὶ τοῦ ΒΘ πρὸς ΖΑ λόγος δοθείς.
그리하여 BΘ와 ZA의 비도 주어진다.
ἴσον δὲ τὸ ΒΘ τῷ ΑΓ· λόγος ἄρα τοῦ ΑΓ πρὸς ΑΖ δοθείς.
그런데 BΘ는 AC와 같으므로, AC와 AZ의 비도 주어진다.
καὶ δοθὲν τὸ ΑΓ·
그리고 AC는 주어져 있으므로, AZ도 주어진다.
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΒΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ AΒΓ.
즉 AB, BZ에 의한 직사각형, 즉 AB, BC에 의한 직사각형도 주어진다.