§18.1## 18. Uulgo prop. LXXXVII.
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος δοθέντι μεῖζον ᾖ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.
## 18. 一般に第87命題。 もし2つの直線が、与えられた角において与えられた面積を囲み、大きい方の直線上の正方形が小さい方の直線上の正方形よりも与えられた量だけ大きければ、それらの各々も与えられたものとなるであろう。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν περιεχέτωσαν χωρίον τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ·
なぜなら、2つの直線AB, BCが、与えられた角ABCにおいて与えられた面積ACを囲み、 AB上の正方形がBC上の正方形よりも与えられた量だけ大きいとせよ。
λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ·
私は、AB, BCの各々が与えられたものであると主張する。 なぜなら、AB上の正方形がBC上の正方形よりも与えられた量だけ大きいので、与えられた（面積）であるAB, BDによる長方形を差し引いたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BA, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ δοθέν, λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθείς.
したがって、残りのBA, ADによる長方形は、BC上の正方形に等しい。 そして、AB, BCによる長方形が与えられており、またAB, BDによる長方形も与えられているので、AB, BDによる長方形と、AB, BCによる長方形との比は与えられている。
καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς ΒΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς·
そして、AB, BDによる長方形と、AB, BCによる長方形との比が、DBとBCとの比に等しいように、DBとBCとの比も与えられている。
λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθείς.
したがって、DB上の正方形と BC上の正方形との比も与えられている。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ·
そして、CB上の正方形はBA, ADによる長方形に等しい。
λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς·
したがって、BA, ADによる長方形と、DB上の正方形との比も与えられている。
καὶ τοῦ τετράκις ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος δοθείς.
したがって、BA, ADによる長方形の4倍にDB上の正方形を加えたものと、BD上の正方形との比も与えられている。
ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ ἐστιν·
しかし、 BA, ADによる長方形の4倍にBD上の正方形を加えたものは、BAとADを合わせたものの上の正方形である。
λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς·
したがって、BAとADを合わせたものの上の正方形と、DB上の正方形との比も与えられている。
λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ πρὸς ΔΒ δοθείς.
したがって、BAとADを合わせたものと、DBとの比も与えられている。
καὶ συνθέντι συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΔ μετὰ τῆς ΔΒ, τουτέστι δύο τῶν ΑΒ πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς·
そして、これらを加算すると、BAと ADを合わせたものにDBを加えたもの、すなわちABの2倍と、BDとの比が与えられている。
καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς.
したがって、ABとBDとの比も与えられている。
τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ λόγος δοθείς.
そして、DBとBCとの比が与えられているので、ABとBCとの比も与えられている。
καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΔ δοθείς, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ δοθείς.
そして、ABとBDとの比が与えられており、 ABとBDとの比が、AB上の正方形と、AB, BDによる長方形との比に等しいように、AB上の正方形と、AB, BDによる長方形との比も与えられている。
δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ·
そして、AB, BDによる長方形は与えられている。
οὕτως γὰρ δοθὲν ἀφῄρηται·
なぜなら、そのように与えられたものとして差し引かれたからである。
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
したがって、 AB上の正方形も与えられている。
δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΒ. καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς·
したがって、ABは与えられている。 そして、ABとBCとの比は与えられている。
δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΓ.
したがって、BCも与えられている。
§18.2## Λῆμμα τοῦ ἐπάνω.
## 上記の補題。
Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας;
角ABCが鈍角であると仮定されたとき、どのようにしてAB, BCによる長方形が与えられるのだろうか。
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου κάθετος ἡ ΒΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΒΔΘΑ ὀρθογώνιον·
B点から垂線BDが引かれ、かつCDがΘまで延長され、そして長方形BDΘAが完成されたとせよ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τῷ ΑΓ. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΒΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΖ ὀρθογώνιον.
したがって、それはACに等しい。 そして、DBがZまで延長され、BCに等しいBZが置かれ、そして長方形AZが完成されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὑπόκειται γάρ· δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ·
それゆえ、角ABCは与えられており（なぜなら仮定されているから）、また角ABDも与えられている（なぜなら直角だから）ので、残りの角DBCは与えられている。
ὀρθὴ γάρ·
そして、角Dは直角である。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΓ δοθεῖσά ἐστιν.
したがって、残りの角Cも与えられている。
καὶ ὀρθὴ ἡ Δ·
したがって、三角形BCDは形状が与えられている。
λοιπὴ ἄρα, ἡ Γ δοθεῖσά ἐστιν·
したがって、DBとBCとの比は与えられている。
δοθὲν ἄρα τὸ ΒΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει·
そして、BCはBZに等しい。
λόγος ἄρα τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς.
したがって、DBとBZとの比も与えられている。
ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΖ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΖ δοθείς·
ゆえに、長方形BΘとZAとの比も与えられている。
ὥστε καὶ τοῦ ΒΘ πρὸς ΖΑ λόγος δοθείς.
そして、BΘはACに等しい。
ἴσον δὲ τὸ ΒΘ τῷ ΑΓ·
したがって、ACとAZとの比も与えられている。
λόγος ἄρα τοῦ ΑΓ πρὸς ΑΖ δοθείς.
そして、ACは与えられている。
καὶ δοθὲν τὸ ΑΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΒΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ AΒΓ.
したがって、 AZ、すなわちAB, BZによる長方形、すなわちAB, BCによる長方形も与えられている。