§54ΤΙ. τοῖν δὴ δυοῖν τριγώνοιν τὸ μὲν ἰσοσκελὲς μίαν εἴληχεν φύσιν, τὸ δὲ πρόμηκες ἀπεράντους·
提：在上述两种三角形中，等腰直角三角形获得了一种本性，而直角不等边三角形则获得了无限多种本性；因此，如果我们打算按部就班地开始，就必须在这无限者中再次挑选出最美丽的一个。
προαιρετέον οὖν αὖ τῶν ἀπείρων τὸ κάλλιστον, εἰ μέλλομεν ἄρξεσθαι κατὰ τρόπον. ἂν οὖν τις ἔχῃ κάλλιον ἐκλεξάμενος εἰπεῖν εἰς τὴν τούτων σύστασιν, ἐκεῖνος οὐκ ἐχθρὸς ὢν ἀλλὰ φίλος κρατεῖ· τιθέμεθα δʼ οὖν τῶν πολλῶν τριγώνων κάλλιστον ἕν, ὑπερβάντες τἆλλα, ἐξ οὗ τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον ἐκ τρίτου συνέστηκεν.
如果有人能为这些物体的构建选择并指出一个更美丽的三角形，那么他不是作为敌人而是作为朋友战胜了我们；无论如何，我们越过其他三角形，将那许多三角形中最美丽的一个假定为，正三角形作为第三种图形由其构成的那一个。
διότι δέ, λόγος πλείων· ἀλλὰ τῷ τοῦτο ἐλέγξαντι καὶ ἀνευρόντι δὴ οὕτως ἔχον κεῖται φίλια τὰ ἆθλα.
至于其原因，说来长篇大论；但对于能反驳这一点并发现实际情况确是如此的人，将有友好的奖赏等待着他。
προῃρήσθω δὴ δύο τρίγωνα ἐξ ὧν τό τε τοῦ πυρὸς καὶ τὰ τῶν ἄλλων σώματα μεμηχάνηται, τὸ μὲν ἰσοσκελές, τὸ δὲ τριπλῆν κατὰ δύναμιν ἔχον τῆς ἐλάττονος τὴν μείζω πλευρὰν ἀεί.
那么，且让我们选出两个三角形，火以及其他物体的身体就是由它们构造而成的：一者是等腰直角三角形，另一者则是其较长边的平方始终是较短边三倍的三角形。
τὸ δὴ πρόσθεν ἀσαφῶς ῥηθὲν νῦν μᾶλλον διοριστέον.
现在，必须对先前含糊阐述的内容做出更明确的界定。
τὰ γὰρ τέτταρα γένη διʼ ἀλλήλων εἰς ἄλληλα ἐφαίνετο πάντα γένεσιν ἔχειν, οὐκ ὀρθῶς φανταζόμενα·
因为这四个类别先前似乎都通过彼此、向着彼此而生成，但这是一种不正确的假象。
γίγνεται μὲν γὰρ ἐκ τῶν τριγώνων ὧν προῃρήμεθα γένη τέτταρα, τρία μὲν ἐξ ἑνὸς τοῦ τὰς πλευρὰς ἀνίσους ἔχοντος, τὸ δὲ τέταρτον ἓν μόνον ἐκ τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου συναρμοσθέν.
实际上，从我们选出的三角形中生成了四个类别，其中三个来自那具有不等边的三角形，而第四个则是唯一由等腰三角形组合而成的。
οὔκουν δυνατὰ πάντα εἰς ἄλληλα διαλυόμενα ἐκ πολλῶν σμικρῶν ὀλίγα μεγάλα καὶ τοὐναντίον γίγνεσθαι, τὰ δὲ τρία οἷόν τε·
因此，它们不可能在全部溶解到彼此中时，由多而小的物体变成少而大的物体，反之亦然；但对于那三个类别来说，这是可能的。
ἐκ γὰρ ἑνὸς ἅπαντα πεφυκότα λυθέντων τε τῶν μειζόνων πολλὰ σμικρὰ ἐκ τῶν αὐτῶν συστήσεται, δεχόμενα τὰ προσήκοντα ἑαυτοῖς σχήματα, καὶ σμικρὰ ὅταν αὖ πολλὰ κατὰ τὰ τρίγωνα διασπαρῇ, γενόμενος εἷς ἀριθμὸς ἑνὸς ὄγκου μέγα ἀποτελέσειεν ἂν ἄλλο εἶδος ἕν.
因为它们全都天然地由一种三角形产生，当较大的物体被分解时，许多小物体将由相同的元素构建而成，并接受适合它们自身的形状；反之，当许多小物体被分散成三角形时，它们也可能聚合成一个体积的单一数目，从而完成另一个单一的巨大形相。
ταῦτα μὲν οὖν λελέχθω περὶ τῆς εἰς ἄλληλα γενέσεως· οἷον δὲ ἕκαστον αὐτῶν γέγονεν εἶδος καὶ ἐξ ὅσων συμπεσόντων ἀριθμῶν, λέγειν ἂν ἑπόμενον εἴη.
那么，关于它们向着彼此的生成，且作如上说明；而它们之中的每一个具体生成了什么样的形状，以及是由多少数量结合而成的，则是接下来应当阐明的内容。
ἄρξει δὴ τό τε πρῶτον εἶδος καὶ σμικρότατον συνιστάμενον, στοιχεῖον δʼ αὐτοῦ τὸ τὴν ὑποτείνουσαν τῆς ἐλάττονος πλευρᾶς διπλασίαν ἔχον μήκει·
首先开始构建的将是第一种、也是最小的形状，而它的元素，是那条斜边的长度为较短边两倍的三角形。
σύνδυο δὲ τοιούτων κατὰ διάμετρον συντιθεμένων καὶ τρὶς τούτου γενομένου, τὰς διαμέτρους καὶ τὰς βραχείας πλευρὰς εἰς ταὐτὸν ὡς κέντρον ἐρεισάντων, ἓν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἐξ ἓξ τὸν ἀριθμὸν ὄντων γέγονεν.
当两个这样的三角形沿着对角线（斜边）组合在一起，且这种情况重复三次，通过将它们的对角线和较短的边汇聚在同一个作为中心的地方，便由数目为六的三角形构成了一个正三角形。
§55ΤΙ. τρίγωνα δὲ ἰσόπλευρα συνιστάμενα τέτταρα κατὰ σύντρεις ἐπιπέδους γωνίας μίαν στερεὰν γωνίαν ποιεῖ, τῆς ἀμβλυτάτης τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐφεξῆς γεγονυῖαν· τοιούτων δὲ ἀποτελεσθεισῶν τεττάρων πρῶτον εἶδος στερεόν, ὅλου περιφεροῦς διανεμητικὸν εἰς ἴσα μέρη καὶ ὅμοια, συνίσταται.
提：而当四个正三角形组合起来，使三个平面角相汇时，就形成了一个立体角，这一立体角紧接在最钝的平面角之后产生；当完成四个这样的立体角时，第一种立体形状（正四面体）就构建出来了，它能够将整个球体分割成相等且相似的部分。
δεύτερον δὲ ἐκ μὲν τῶν αὐτῶν τριγώνων, κατὰ δὲ ἰσόπλευρα τρίγωνα ὀκτὼ συστάντων, μίαν ἀπεργασαμένων στερεὰν γωνίαν ἐκ τεττάρων ἐπιπέδων· καὶ γενομένων ἓξ τοιούτων τὸ δεύτερον αὖ σῶμα οὕτως ἔσχεν τέλος.
第二种形状由相同的三角形构成，是由八个正三角形组合而成，由四个平面角制成一个立体角；当形成六个这样的立体角时，第二种物体也就这样完成了。
τὸ δὲ τρίτον ἐκ δὶς ἑξήκοντα τῶν στοιχείων συμπαγέντων, στερεῶν δὲ γωνιῶν δώδεκα, ὑπὸ πέντε ἐπιπέδων τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχομένης ἑκάστης, εἴκοσι βάσεις ἔχον ἰσοπλεύρους τριγώνους γέγονεν.
第三种则是由两倍于六十（一百二十个）的元素结合而成，具有十二个立体角，每个立体角由五个平面正三角形围成，由此生成了具有二十个等边三角形底面的物体（正二十面体）。
καὶ τὸ μὲν ἕτερον ἀπήλλακτο τῶν στοιχείων ταῦτα γεννῆσαν, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἐγέννα τὴν τοῦ τετάρτου φύσιν, κατὰ τέτταρα συνιστάμενον, εἰς τὸ κέντρον τὰς ὀρθὰς γωνίας συνάγον, ἓν ἰσόπλευρον τετράγωνον ἀπεργασάμενον· ἓξ δὲ τοιαῦτα συμπαγέντα γωνίας ὀκτὼ στερεὰς ἀπετέλεσεν, κατὰ τρεῖς ἐπιπέδους ὀρθὰς συναρμοσθείσης ἑκάστης·
在产生这些形状之后，第一种元素就完成了它的任务；而等腰三角形则产生了第四种物体的本性，它是以四个一组来构建，将直角汇聚到中心，从而制成了一个正方形；而六个这样的正方形结合在一起，便完成了八个立体角，每个立体角都由三个平面直角组合而成。
τὸ δὲ σχῆμα τοῦ συστάντος σώματος γέγονεν κυβικόν, ἓξ ἐπιπέδους τετραγώνους ἰσοπλεύρους βάσεις ἔχον.
而构建出的物体形状便是立方体，具有六个平面正方形底面。
ἔτι δὲ οὔσης συστάσεως μιᾶς πέμπτης, ἐπὶ τὸ πᾶν ὁ θεὸς αὐτῇ κατεχρήσατο ἐκεῖνο διαζωγραφῶν.
此外，还剩下一类第五种构建，神便将其用于整个宇宙，以之作为宇宙的彩绘装饰。
ἃ δή τις εἰ πάντα λογιζόμενος ἐμμελῶς ἀποροῖ πότερον ἀπείρους χρὴ κόσμους εἶναι λέγειν ἢ πέρας ἔχοντας, τὸ μὲν ἀπείρους ἡγήσαιτʼ ἂν ὄντως ἀπείρου τινὸς εἶναι δόγμα ὧν ἔμπειρον χρεὼν εἶναι, πότερον δὲ ἕνα ἢ πέντε αὐτοὺς ἀληθείᾳ πεφυκότας λέγειν ποτὲ προσήκει, μᾶλλον ἂν ταύτῃ στὰς εἰκότως διαπορήσαι.
如果有人在对此全部进行妥当的权衡后，困惑于究竟该说世界是无限的还是有限的，那么他会认为，主张世界无限的看法，实际上是在一个人应当具有经验的事物上完全缺乏经验（无知）之人的见解；而至于按其本性，说世界在真理上是一个还是五个才合适，他若在此处驻足并合理地提出疑问，则更为妥当。
τὸ μὲν οὖν δὴ παρʼ ἡμῶν ἕνα αὐτὸν κατὰ τὸν εἰκότα λόγον πεφυκότα μηνύει θεόν, ἄλλος δὲ εἰς ἄλλα πῃ βλέψας ἕτερα δοξάσει.
无论如何，按照我们合理的言论，神表明世界按其本性自然是一个；而其他人若看向别的方面，也许会有不同的意见。
καὶ τοῦτον μὲν μεθετέον, τὰ δὲ γεγονότα νῦν τῷ λόγῳ γένη διανείμωμεν εἰς πῦρ καὶ γῆν καὶ ὕδωρ καὶ ἀέρα.
此事且搁置一边，现在让我们把在讨论中生成的这些类别，分配给火、地、水和空气。
γῇ μὲν δὴ τὸ κυβικὸν εἶδος δῶμεν· ἀκινητοτάτη γὰρ τῶν τεττάρων γενῶν γῆ καὶ τῶν σωμάτων πλαστικωτάτη, μάλιστα δὲ ἀνάγκη γεγονέναι τοιοῦτον τὸ τὰς βάσεις ἀσφαλεστάτας ἔχον·
首先，让我们将立方体的形状分配给地；因为在四个类别中，地是最不易移动的，而在所有物体中，它又是最可塑的；而最安全（稳定）之底面的拥有者，必然最具有这种特性。
βάσις δὲ ἥ τε τῶν κατʼ ἀρχὰς τριγώνων ὑποτεθέντων ἀσφαλεστέρα κατὰ φύσιν ἡ τῶν ἴσων πλευρῶν τῆς τῶν ἀνίσων, τό τε ἐξ ἑκατέρου συντεθὲν ἐπίπεδον ἰσόπλευρον ἰσοπλεύρου τετράγωνον τριγώνου κατά τε μέρη καὶ καθʼ ὅλον στασιμωτέρως ἐξ ἀνάγκης βέβηκεν.
而在最开始设定作为基础的三角形中，等边（等腰）三角形的底面自然要比不等边三角形的底面更稳固；且由两者分别组合而成的平面——即正方形相较于正三角形——无论是局部还是整体，都必然立得更加稳固。