← アルキメデス

アルキメデスの牛の問題

§1-2

太陽神ヘリオスの牛の頭数を求める問題と註記

アルキメデスがエラトステネスに送ったとされる、太陽神の牛の頭数を求める難解な数学的パズル「牛の問題」の詩（§1）と、その計算結果の数値を記した古代の註釈（§2）。

表示 ▾
表示
訳
訳の書体
AI ↗
← 前次 →
§1

​PROBLEMA BOVINUM Πρόβλημα, ὅπερ Ἀρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρὼν τοῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ περὶ ταῦτα πραγματευομένοις1 ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῇ πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῇ. Πληθὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον φροντίδʼ ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης, πόσση ἄῤ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτʼ ἐβόσκετο νήσου Θρινακίης τετραχῇ στίφεα δασσαμένη χροιὴν ἀλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος, κυανέῳ δʼ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον, ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. Ἐν δὲ ἑκάστῳ στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτῳ καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὧ ξεῖνε, νόησον, αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρει μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν. Τοὺς δʼ ὑπολειπομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει ἀργεννῶν ταύρων ἕκτῳ μέρει ἑβδομάτῳ τε καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους. Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδʼ ἔπλετο· λευκότριχες μὲν ἧσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι· αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τε πάλιν μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο σὺν ταύροις πάσαις2 εἰς νομὸν ἐρχομέναις. Ξανθοτρίχων δʼ ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτῳ ποικίλαι ἰσάριθμον πλῆθος ἔχον τετραχῇ. Ξανθαὶ δʼ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τε μέρει. Ξεῖνε, σὺ δʼ Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών, χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν, χωρὶς δʼ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἕκασται, οὐκ ἄιδρίς κα λέγοι οὐδʼ ἀριθμῶν ἀδαής, οὐ μὴν πώ γε σοφοῖς ἐναρίθμιος. Ἀλλʼ ἴθι φράζευ καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη. Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν κυανέοις, ἵσταντ᾿ ἔμπεδον ἰσόμετροι εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δʼ αὖ περιμήκεα πάντη πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία. Ξανθοὶ δʼ αὖτʼ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες ἵσταντ᾿ ἀμβολάδην3 ἐξ ἑνὸς ἀρχόμενοι σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ᾿ ἐπιλειπομένων. Ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως κεκριμένος ταύτῃ γʼ ὄμπνιος ἐν σοφίῃ.

牛の問題 アルキメデスが詩の中に発見し、アレクサンドリアでこれらの事柄を探求している人々へ、キュレネのエラトステネスに宛てた手紙の中で送って探求するように求めた問題。 異邦人よ、もしお前が知恵を分かち持っているなら、精神を集中して、ヘリオスの牛の群れを数えよ。かつてシケリアの島の平野で、トリナキアの島で、４つに群れを分け、異なった色をして、どれほど多くが放牧されていたかを。一つは乳のように白く、他のものは暗青色に輝き、別の一群は黄色で、残るは斑であった。それぞれの群れには、次のような釣り合いを持つ、数において満ちあふれた牡牛たちがいた。白毛の牡牛の数は、暗青色の牡牛の半分と三分の一、それに黄色い牡牛をすべて足したものに等しい、異邦人よ、そう考えよ。一方、暗青色の牡牛の数は、斑の牡牛の四分の一と五分の一、それに黄色い牡牛すべてを足したものに等しい。残る斑の牡牛の数は、白い牡牛の六分の一と七分の一、それに黄色い牡牛すべてを足したものに等しいと見なせ。 牝牛については、以下のようであった。白毛の牝牛の数は、暗青色の群れ全体の三分の一と四分の一に正確に等しかった。 一方、暗青色の牝牛の数は、牧草地に行く牡牛たちも含めた斑の群れ全体の四分の一と五分の一とを合わせた数に等しい。黄色い群れの五分の一と六分の一に、斑の牝牛は、４つに分けられた群れの同等な数を持っていた。黄色い牝牛の数は、白い群れ全体の三分の一の半分と七分の一に等しいと数えられた。 異邦人よ、お前がヘリオスの牛が正確にいくらであるかを言い、よく肥えた牡牛の数を別個に、また牝牛の数をそれぞれ毛色ごとに別個に言うならば、お前は数に不案内でも無知でもないと言われるだろうが、まだ賢者たちの仲間に入ったわけではない。さあ、これらすべてのヘリオスの牛の状態を思索せよ。白毛の牡牛たちが、その数を暗青色のものたちと混ぜ合わせるとき、彼らは奥行きと幅が等しく不動に立ち、トリナキアの平野のどこまでも広がる空間は満たされた。一方、黄色いものと斑のものが一つに集められたとき、彼らは一段高く立ち、一の頂点から始まって、三角形を完成させ、他の色の牡牛が加わることも欠けることもなかった。これらを共に解き明かし、心の中でまとめ、あらゆる数の度合いを示したなら、異邦人よ、勝ち誇り、勝利者として歩め、そしてあらゆる点でこの知恵において非常に優れた者として認められよ。

§2

Σχόλιον Τὸ μὲν οὖν πρόβλημα διὰ τοῦ ποιήματος ὁ Ἀρχιμήδης ἐδήλωσε σαφῶς· ἰστέον δὲ λεγόμενον, ὅτι τέσσαρας ἀγέλας εἶναι δεῖ βοῶν, λευκοτρίχων μὲν μίαν ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθος ὁμοῦ συνάγει μυριάδας διπλᾶς4 ιδ΄ καὶ ἁπλᾶς φπβ΄ καὶ μονάδας ζτξ΄, κυανοχρόων δʼ ἄλλην ὁμοῦ ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν ἐννέα καὶ ἁπλῶν ηωλ΄ καὶ μονάδων ω΄, μιξοτρίχων δʼ ἄλλην ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν η΄ καὶ ἁπλῶν ςϠ(??)α΄ καὶ μονάδων υ΄· τῆς δὲ λοιπῆς ἀγέλης ξανθοχρόων συνάγει τὸ πλῆθος διπλᾶς μυριάδας ζ΄ καὶ ἁπλᾶς ςψη΄, μονάδας δὲ η· ὥστε συνάγεσθαι ὁμοῦ τὸ πλῆθος τῶν δʼ ἀγελῶν μυριάδας διπλᾶς μ΄ καὶ ἁπλᾶς γριβ΄ καὶ μονάδας ςφξ΄. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἔχει μυριάδας διπλᾶς η΄ καὶ ἁπλᾶς βϠλα΄ καὶ μονάδας ηφξ΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς ζχν΄ καὶ μονάδας ηω΄, ἡ δὲ ἀγέλη τῶν κυανοχρόων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς θχπδ΄ καὶ μονάδας αρκ΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς γ΄ καὶ ἁπλᾶς θρμε΄ καὶ μονάδας θχπ΄, ἡ δʼ ἀγέλη τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς ηωξδ᾿ καὶ μονάδας δω΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς β΄ καὶ ἁπλᾶς ηρκς΄ καὶ μονάδας εχ᾿, ἡ δʼ ἀγέλη τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς γ΄ καὶ ἁπλᾶς γρ(??)ε΄ καὶ μονάδας Ϡξ΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς δ΄ καὶ ἁπλᾶς γφιγ΄ καὶ μονάδας ζμ΄. Καί ἐστι τὸ πλῆθος τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἴσον τῷ ἡμίσει καὶ τρίτῳ μέρει τοῦ πλήθους τῶν κυανοχρόων ταύρων καὶ ἔτι ὅλῃ τῇ τῶν ξανθοχρωμάτων ἀγέλῃ, τὸ δὲ πλῆθος τῶν κυανοχρωμάτων ἴσον τῷ τετάρτῳ καὶ πέμπτῳ μέρει τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων καὶ ὅλῳ τῷ πλήθει τῶν ξανθοχρωμάτων, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἴσον τῷ ἕκτῳ καὶ ἑβδόμῳ μέρει τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἔτι τῷ πλήθει ὅλῳ τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων, καὶ πάλιν τὸ πλῆθος τῶν λευκῶν θηλειῶν ἴσον τῷ τρίτῳ καὶ τετάρτῳ μέρει ὅλης τῆς ἀγέλης τῶν κυανοχρόων, τὸ δὲ τῶν κυανοχρόων ἴσον τῷ τετάρτῳ καὶ πέμπτῳ μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν ποικιλοτρίχων, τὸ δὲ τῶν ποικιλοτρίχων ἴσον τῷ πέμπτῳ καὶ ἕκτῳ μέρει τῆς ὅλης τῶν ξανθῶν βοῶν. Πάλιν δὲ τὸ τῶν ξανθῶν θηλειῶν πλῆθος ἦν ἴσον τῷ ἕκτῳ τε καὶ ἑβδόμῳ μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν λευκῶν βοῶν. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖσα ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμόν, ἡ δʼ ἀγέλη τῶν ξανθοτρίχων ταύρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεθεῖσα ποιεῖ τρίγωνον, ὡς ἔχει τὰ τῶν ὑποκειμένων κανόνων καθʼ ἕκαστον χρῶμα.

註釈 註釈：アルキメデスは詩を通じて問題を明確に示した。しかし、言われていることを知らねばならない、すなわち、牛の群れは4つあるべきであり、白毛の群れは牡牛と牝牛で一つであり、その数は合算して二重万が14、一重万が582、個数が7360となる。暗青色の群れは牡牛と牝牛を合わせて別の一つであり、その数は二重万が9、一重万が8830、個数が800となる。斑の群れは牡牛と牝牛で別の一つであり、その数は二重万が8、一重万が6991(??)、個数が400となる。残りの黄色い群れの総数は二重万が7、一重万が698、個数が8となる。 よって4つの群れの総数は、二重万が40、一重万が3112、個数が6560となる。そして、白毛の牡牛の群れは二重万が8、一重万が2931、個数が8560を擁し、牝牛は二重万が5、一重万が7650、個数が8800を擁する。暗青色の牡牛の群れは二重万が5、一重万が9684、個数が1120を擁し、牝牛は二重万が3、一重万が9145、個数が9680を擁する。斑の牡牛の群れは二重万が5、一重万が8864、個数が4800を擁し、牝牛は二重万が2、一重万が8126、個数が5600を擁する。黄色い牡牛の群れは二重万が3、一重万が31(??)5、個数が960を擁し、牝牛は二重万が4、一重万が3513、個数が7040を擁する。そして、白毛の牡牛の数は、暗青色の牡牛の数の一半と三分の一、さらに黄色全体の群れに等しい。暗青色の数は、斑の牡牛の四分の一と五分の一、さらに黄色全体の群れに等しい。斑の牡牛の数は、白毛の牡牛の六分の一と七分の一、さらに黄色全体の牡牛に等しい。また、白い牝牛の数は、暗青色の群れ全体の三分の一と四分の一に等しい。暗青色の牝牛の数は、斑の群れ全体の四分の一と五分の一に等しい。斑の牝牛の数は、黄色い牛全体の群れの五分の一と六分の一に等しい。また、黄色い牝牛の数は、白い牛全体の群れの六分の一と七分の一に等しかった。そして、白毛の牡牛の群れと暗青色の牡牛の群れを合わせると平方数になり、黄色の牡牛の群れと斑の牡牛の群れを合わせると三角数になる。これは、それぞれの色について示された表の通りである。

構文注4 件
  1. 1πραγματευομένοις

    現在分詞 πραγματευομένοις（与格・複数）は、定冠詞 τοῖς（先行する ἐν Ἀλεξανδρείᾳ および περὶ ταῦτα と共に）を伴い、実名詞化されて「これら（数学の諸問題）に従事する人々」という意味で、動詞 ἀπέστειλεν の間接目的語となっている。

  2. 1σὺν ταύροις πάσαις

    名詞 ταύροις（男性与格複数）と形容詞 πάσαις（女性与格複数）の間の性と格の不一致、あるいは写本上の混乱が見られる箇所。文脈上、女性形 πάσαις は「牝牛たち（θῆλειαι）」を暗示しており、牧草地へと集まる全体の動きについて「（牡牛たちも含めた）すべての群れ」もしくは「すべての（牝牛が）牡牛たちと共に」と解釈されるが、文法的には破格（solecism）またはテキストの破損の可能性がある。

  3. 1ἀμβολάδην

    副詞 ἀμβολάδην は通常「高く積み上げて」や「順々に」を意味し、ここでは黄色と斑の牡牛が「1頭」から始まり順次増加して積み重なることで、三角数（1, 3, 6, 10...）を形成する視覚的・幾何学的な配置のプロセスを修飾している。

  4. 2μυριάδας διπλᾶς

    古代ギリシアの記数法において、μυριάς（万 = 10^4）が重なる表現。μυριάδες διπλαῖ は「二重万」（すなわち1万の2乗、10^8 = 1億の単位）を意味し、μυριάδες ἁπλαῖ（一重万、10^4 = 1万の単位）と対比されて、巨大な数値を体系的に示すために使われている。

翻訳：Gemini 3.5 Flash（2026-05-22 公開）・修正履歴（1 件・最終 2026-10-12）
  • 2026-10-12 AI校閲 — 訳文 1 件
urn:cts:greekLit:tlg0552.tlg012.humanitext-grc1:1-2