円の面積と直角三角形および外接正方形の比｜『円周の測定』§1-2（アルキメデス）ギリシア語原文・日本語訳

§1

α΄. Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. Ἐχέτω¹ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος τριγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόκειται· λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ κύκλος, καὶ ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλος τοῦ τριγώνου· τὸ εὐθύγραμμον ἄρα ἔτι τοῦ τριγώνου ἐστὶ μεῖζον. Εἰλήφθω κέντρον τὸ Ν καὶ κάθετος ἡ ΝΞ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος τοῦ εὐθυγράμμου τῆς λοιπῆς² ἐλάττων, ἐπεὶ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τοῦ Ε τριγώνου· ὅπερ ἄτοπον. Ἔστω δὲ ὁ κύκλος, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων τοῦ Ε τριγώνου, καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν σημείων· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν μείζων· ἡ γὰρ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστί· καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ. Λελείφθωσαν οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοιοι ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου· ἔτι ἄρα τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγραμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον· ὅπερ ἄτοπον· ἔστιν γὰρ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ καθέτῳ τοῦ τριγώνου, ἡ δὲ περίμετρος μείζων ἐστὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου. Ἴσος ἄρα ὁ κύκλος τῷ Ε τριγώνῳ.

第一命題すべての円は、その半径が直角を挟む辺の一方に等しく、周が底辺に等しいような直角三角形に等しい。円ΑΒΓΔが仮定のように三角形Εに対して［そのような関係に］あるとせよ。私は、［円が三角形に］等しいと主張する。なぜなら、もし可能であれば、円がより大きいとせよ。そして［円に］正方形ΑΓを内接させ、弧を二等分せよ。そしてそれらの弓形が、すでに、円が三角形を超過している超過分よりも小さくなっているとせよ。したがって、［内接する］直線図形は依然として三角形よりも大きい。中心Νと、垂線ΝΞが取られるとせよ。したがってΝΞは三角形の［直角を挟む］辺よりも小さい。また、直線図形の周も、残りの辺よりも小さい。なぜならそれは円の周よりも小さいからである。したがって、直線図形は三角形Εよりも小さい。これは不合理である。他方、もし可能であれば、円が三角形Εよりも小さいとせよ。そして正方形を外接させ、弧を二等分し、それらの点を通って接線を引かせよ。したがって角ΟΑΡは直角である。ゆえにΟΡはΜΡよりも大きい。なぜならΡΜはΡΑに等しいからである。したがって三角形ΡΟΠもまた、図形ΟΖΑΜの半分よりも大きい。残された、扇形ΠΖΑに類似する［図形］が、三角形Εが円ΑΒΓΔを超過している超過分よりも小さくなっているとせよ。したがって、外接された直線図形は依然として三角形Εよりも小さい。これは不合理である。なぜなら、［外接図形は］より大きいからである。というのも、［半径］ΝΑは三角形の垂線に等しく、周は三角形の底辺よりも大きいからである。したがって、円は三角形Εに等しい。

§2

β΄. Ὁ κύκλος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ῑδ. Ἔστω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω τετράγωνον τὸ ΓΗ, καὶ τῆς Γ△ διπλῆ ἡ △Ε, ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς Γ³△. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν κᾱ πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ πρὸς ἐν, τὸ ΑΓΖ πρὸς τὸ ΑΓ△ ἐστίν, ὡς κβ πρὸς ζ. Ἀλλὰ τοῦ ΑΓ△ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΓ△Ζ τρίγωνον τῷ ΑΒ κύκλῳ ἴσον ἐστίν· ὁ κύκλος οὖν πρὸς τὸ ΓΗ τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ιδ.

第二命題円はその直径の上の正方形に対して、11対14の比を持つ。直径がΑΒである円があるとし、正方形ΓΗが外接されるとせよ。そしてΓΔの二倍をΔΕとし、ΓΔの七分の一をΕΖとせよ。それゆえ、［三角形］ΑΓΕが［三角形］ΑΓΔに対して21対7の比を持ち、［三角形］ΑΓΔが［三角形］ΑΕΖに対して7対1の比を持つので、［三角形］ΑΓΖは［三角形］ΑΓΔに対して22対7の比を持つ。しかし、正方形ΓΗは［三角形］ΑΓΔの四倍であり、他方、図形ΑΓΔΖは円ΑΒに等しい。したがって、円は正方形ΓΗに対して11対14の比を持つ。

構文注3 件

1Ἐχέτω
三人称単数の命令法で、幾何学の証明において「〜であると仮定せよ」と仮定を設定する定型表現。主語は ὁ ΑΒΓ△ κύκλος であり、与格 τριγώνῳ τῷ Ε を伴って「円が三角形に対して［同様の関係を］持つようにせよ」を意味する。
1τῆς λοιπῆς
比較級 ἐλάττων の比較対象を示す属格。女性単数属格であり、先行文脈の「直角を挟む二辺のうちもう一方の辺」（すなわち三角形の底辺）を指す名詞 πλευρᾶς が省略されている。
2ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς Γ△
分数「7分の1」を意味する形容詞 ἕβδομος が主語 ἡ ΕΖ に合わせて中性単数主格となっており、基準を示す属格 τῆς Γ△（ΓΔの）を伴う。「ΕΖはΓΔの7分の1である」という関係を示す。

翻訳：Gemini 3.5 Flash（2026-05-22 公開）・修正履歴（2 件・最終 2026-09-21）

2026-09-21 AI校閲 — 注 1 件
2026-09-21 AI校閲 — 訳文 1 件

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