§1## ΣΤΟΜΑΧΙΟΝ
Ἀρχιμήδους Στομάχιον
Τοῦ λεγομένου Στομαχίου ποικίλαν ἔχοντος τᾶς ἐξ ὧν συνέστακε σχημάτων μεταθέσεως θεωρίαν ἀναγκαῖον ἡγησάμην πραττον του ρῶν ἐκθέσθαι, εἴς τε ἃ διαιρεῖται, ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶν ὁμοιούμενον, ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι σύνδυο λαμβανόμεναι καὶ θάς, εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρμόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωμένων σχαμάτων γιγνώσκεσθαι, εἴτε ἐπʼ εὐθείας εἰσὶν αἱ γεννώμεναι ἐν τοῖς σχάμασι πλευραί, εἴτε καὶ μικρῶς λείπουσαι τᾷ θεωρίᾳ λανθάνουσιν τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα καὶ ἐὰν ἐλάχιστον μὲν λείπηται, τᾷ δὲ θεωρίᾳ λανθάνῃ, οὐ παρὰ τοῦτʼ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται.
【스토마키온】 아르키메데스의 스토마키온 이른바 스토마키온이 그것을 구성하는 도형들의 다양한 재배치에 관한 다채로운 이론을 가지고 있으므로, 나는 이 분야에 종사하는 자들을 위해 그것이 무엇으로 분할되는지, 그것들 각각이 무엇과 유사한지, 나아가 어떤 종류의 각들이 둘씩 짝지어져 [직각을 이루는지]를 제시하는 것이 필요하다고 생각했다. 이는 그것들로부터 생성되는 도형들의 맞춤을 알 수 있도록 하기 위함이다. 즉, 도형들에서 생성되는 변들이 직선을 이루는지, 아니면 미세하게 모자라서 이론상 감추어지는지를 말이다. 왜냐하면 그러한 정교한 도형들은 설령 극히 미세하게 모자라서 이론상 감추어진다 하더라도, 그 때문에 구성된 것들이 배척되어서는 안 되기 때문이다.
Ἔστι μὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχημάτων ο διὰ τὸ ν τον εἶναι εἰς ἕτερον τόπον τοῦ ἴσου καὶ ἰσογωνίου σχάματος μετατιθεμε καὶ ἑτέ λαμβάνοντας.
따라서 그것들로부터 적지 않은 도형들이 구성되는데, 이는 동등하고 등각인 다른 도형의 위치로의 재배치 때문이다.
Ἐνιότε δὲ καὶ δύο σχημάτων συνάμφω ἑνὶ σχήματι ἴσων ὄντων καὶ ὁμοίων τῷ ἑνὶ σχήματι ἢ καὶ δύο σχημάτων συνάμφω ἴσων τε καὶ ὁμοίων ὄντων δυσὶ σχήμασι συνάμφω πλείονα σχήματα συνίσταται ἐκ τῆς μεταθέσεως.
때로는 합해서 하나의 도형과 같고 닮은 두 도형이 그 하나의 도형으로, 혹은 합해서 두 도형과 같고 닮은 두 도형이 합해서 두 도형으로 [재배치됨으로써], 재배치로부터 더 많은 도형들이 구성된다.
Προγράφομεν οὖν τι θεώρημα εἰς αὐτὸ συντεῖνον.
그러므로 우리는 이에 이바지하는 어떤 정리를 미리 기술해 둔다.
Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ, καὶ δε. ι ω ἡ ΕΖ τῷ Κ, καὶ. .
직사각형 평행사변형 ZG가 있고, EZ가 K에서 [등분되며], G, B로부터 GK, BE가 그어진다고 하자.
διήχθωσαν ἀπὸ τῶν Γ, Β αἱ ΓΚ, ΒΕ. ει ων τῶν Γ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΓΚ, ΒΖ καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ △ ἡ ΓΗ. Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΖ, ἴση καὶ ἡ ΓΕ, τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῇ Ζ△ ὥστε μείζων ἡ ΓΖ τῆς Ζ△ καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν Ζ△Γ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓ△ μείζων.
G로부터 GK, BZ가 연장되어 D에서 만나고 GH라 하자. EK가 KZ와 같으므로, GE(즉 BZ)도 ZD와 같다. 그리하여 GZ는 ZD보다 크고, 따라서 각 ZDG는 각 ZGD보다 크다.
Ἶσοι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒ△, ΖΓΒ·
또한 각 HBD와 ZGB는 같다.
ἡμίσεια γὰρ ὀρθῆς ἑκατέρα μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΗΒ△, Η△Β, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ. Ἐὰν ἄρα δίχα τμηθῇ ἡ ΓΗ κατὰ Χ, ἔσται ἀμβλεῖα μὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῇ ΧΗ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δυσὶν ἴσαι καὶ βάσις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ μείζων καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας μείζων.
왜냐하면 각각 직각의 절반이기 때문이다. 따라서 각 GHB 역시 [각 HGB]보다 크다. 왜냐하면 각 GHB는 두 내대각 HBD, HDB의 합과 같으며, 이는 각 HGB보다 크기 때문이다. 그리하여 GB는 BH보다 크다. 그러므로 만약 GH가 X에서 이등분된다면, 각 GXB는 둔각이 될 것이다. 왜냐하면 GX가 XH와 같고, XB가 공통이므로, 두 변이 각각 두 변과 같고 밑변 GB가 BH보다 크므로, 각 또한 각보다 크기 때문이다.
Ἀμβλεῖα μὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς.
따라서 각 GXB는 둔각이고, 인접한 각은 예각이다.
Ἡμίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τοῦτο γάρ ἐστιν ὑποκείμενον τοῦ παραλληλογράμμου ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ. Καὶ.
그리고 각 GBH는 직각의 절반이다. 왜냐하면 이것이 평행사변형의 가정이기 때문이다. 그리고 각 BXH는 예각이다.
τι δὴ ἴση ἡ λοιπαὶ ΓΒΗ καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται τοῦτο ἐπ.
그리고 참으로 남은 GBH도 같으며, 이것은 밑변 [...] 위에서 구성되고 분할된다.
ον τὸν βάσιος τι αστ α ἄρα ο ΑΒ αν ο τὴν ΓΑ νῶν έχον τὸ ἐπίλοιπ δύνασθαι ἀρ ξειν ἑκ τῶν τομῶν τῶν τάξιν ἐχοντ.
따라서 AB는 GA를 [...] [...] 남은 [...] 수 있음 [...] 순서를 가진 분할들로부터.
Τετμήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ, ΖΑ. Ἤχθωσαν διάμετροι αἱ Γ△, ΒΕ, Ε△, καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ, Ε△ κατὰ τὰ Θ, Χ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ, ΧΖ, καὶ διὰ τῶν, Κ τῇ Β△ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ Κ, Ξ. Διὰ τὸ προκείμενον ἄρα θεώρημα τοῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ἀμβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα νερὸν φανερὸν δὲ ει.
GA가 E에서 이등분되고, E를 지나 BG에 평행한 EZ가 그어진다고 하자. 따라서 ZG, ZA는 정사각형이다. 대각선 GD, BE, ED가 그어지고, GH, ED가 각각 Th, X에서 이등분되며, BTh, XZ가 연결되고, [...], K를 지나 BD에 평행한 K[...], X(Ξ)가 그어진다고 하자. 따라서 전술한 정리로 인해, 삼각형 BGTh의 Th에서의 각은 둔각이고, 남은 각은 예각임이 분명하다.