§4#3Θανερὸν οὖν ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυριάδων μυριᾶν ἔλασσόν ἐστιν ἢ ῑ μυριάδες τῶν ἕκτων ἀριθμῶν.
그러므로 지름 일억 스타디온을 가진 구와 크기가 같은 모래의 양은 제6의 수의 10만보다 적음이 명백하다.
Ἁ δὲ τὰν διάμετρον ἔχουσα σφαῖρα σταδίων μυριάκις μυριάδων ρ πολλαπλασία ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδίων μυριάδων μυριᾶν ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
한편 지름 백억 스타디온을 가진 구는 지름 일억 스타디온을 가진 구의 100만 배이다.
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων μυριάκις μυριάδων ρ, φανερὸν ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος ἔλασσον ἐσσεῖται τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν ῑ μυριάδων τῶν ἕκτων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
그러므로 만일 지름 백억 스타디온의 지름을 가진 구와 크기가 같은 모래 구가 생긴다면, 모래알의 수는 제6의 수의 10만에 100만을 곱하여 얻은 수보다 작을 것임이 명백하다.
Ἐπεὶ δʼ αἱ μὲν τῶν ἕκτων ἀριθμῶν δέκα μυριάδες ἕκτος καὶ τετρωκοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ ρ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσεῖται δυοκαιπεντακοστὸς ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας.
그런데 제6의 수의 10 만은 수열에서 단위로부터 시작하여 46번째 수이고, 100만은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 7번째 수이므로, 그 적은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 52번째 수가 될 것임이 명백하다.
Τῶν δὲ δύο καὶ πεντήκοντα τούτων οἱ μὲν ὀκτὼ καὶ τεσσαράκοντα σὺν τᾷ μονάδι οἵ τε πρῶτοι καλούμενοι ἐντὶ καὶ οἱ δεύτεροι καὶ τρίτοι καὶ τέταρτοι καὶ πέμπτοι καὶ ἕκτοι, οἱ δὲ λοιποὶ τέσσαρες τῶν ἑβδόμων καλουμένων ἐντί, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι χίλιαι μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν.
그리고 이들 52개 중에서, 단위를 포함한 처음 48개는 소위 제1, 제2, 제3, 제4, 제5 및 제6의 수에 속하고, 나머지 4개는 소위 제7의 수에 속하는데, 그 마지막 것은 제7의 수의 천 단위이다.
Φανερὸν οὖν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυριάκις μυριάδων ρ ἔλασσόν ἐστιν ἢ,ᾱ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν.
그러므로 지름 백억 스타디온을 가진 구와 크기가 같은 모래의 양은 제7의 수의 1,000 단위보다 적음이 명백하다.
Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάσσων ἐοῦσα σταδίων μυριάκις μυριάδων ρ, δῆλον ὅτι καὶ τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ,ᾱ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν.
그러므로 세상의 지름이 백억 스타디온보다 작다는 것이 증명되었으므로, 세상과 크기가 같은 모래의 양 또한 제7의 수의 1,000 단위보다 적음이 명백하다.
Ὅτι μὲν οὖν τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν πλείστων ἀστρολόγων καλουμένῳ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ,ᾱ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν δέδεικται·
따라서 대부분의 천문학자들에 의해 세상이라 불리는 것과 크기가 같은 모래의 양이 제7의 수의 1,000 단위보다 적음은 증명되었다.
ὅτι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ ταλικαύτᾳ, ἁλίκαν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, ἔλασσόν ἐστιν ἢ,ᾱ μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν δειχθήσεται.
한편 아리스타르코스가 항성 천구라고 가정한 크기와 같은 구와 크기가 같은 모래의 양 또한 제8의 수의 1,000만보다 적음은 다음과 같이 증명될 것이다.
Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν γᾶν τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον ποτὶ τὸν ὑφʼ ἁμῶν εἰρημένον κόσμον, ὃν ἔχει λόγον ὁ εἰρημένος κόσμος ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν, ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται, καὶ αἱ διάμετροι τᾶν σφαιρᾶν τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ποτʼ ἀλλάλας.
왜냐하면 지구와 우리가 말한 세상과의 비가, 그 말해진 세상과 아리스타르코스가 가정한 항성 천구와의 비와 같다고 가정되었으므로, 이들 구의 지름들 또한 서로에 대해 동일한 비를 갖기 때문이다.
Ἁ δὲ τοῦ κόσμου διάμετρος τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς δέδεικται ἐλάσσων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων δῆλον οὖν ὅτι καὶ ἁ διάμετρος τᾶς τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τοῦ κόσμου.
그런데 세상의 지름은 지구의 지름의 만 배보다 작음이 증명되어 있다. 그러므로 항성 천구의 지름 또한 세상의 지름의 만 배보다 작음이 명백하다.
Ἐπεὶ δὲ αἱ σφαῖραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτʼ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων, φανερὸν ὅτι ἁ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖρα, ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται, ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριάκις μυρίαις μυριάδεσσι πολλαπλασίων τοῦ κόσμου.
그리고 구들은 서로에 대해 지름의 세제곱의 비를 가지므로, 아리스타르코스가 가정한 항성 천구는 세상의 일조 배보다 작음이 명백하다.
Δέδεικται δὲ ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ,ᾱ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν·
또한 세상과 크기가 같은 모래의 양은 제7의 수의 1,000 단위보다 적음이 증명되어 있다.
δῆλον οὖν ὅτι, εἰ γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκαν ὁ Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, ἐλάσσων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μονάδων ταῖς μυριάκις μυρίαις μυριάδεσσιν, Καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν τῶν ἑβδόμων ᾱ μονάδες δυοκαιπεντακοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ μυριάκις μύριαι μυριάδες τρισκαιδέκατος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσεῖται τέταρτος καὶ ἑξηκοστὸς ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας·
그러므로 만일 아리스타르코스가 항성 천구라고 가정한 크기와 같은 모래 구가 생긴다면, 모래알의 수는 1,000 단위에 일 조를 곱하여 얻은 수보다 작을 것임이 명백하다. 그리고 제7의 수의 1,000 단위는 수열에서 단위로부터 시작하여 52번째 수이고, 다른 한편으로 일조는 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 13번째 수이므로, 그 적은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 64번째 수가 될 것임이 명백하다.
οὗτος δὲ ἐστι τῶν ὀγδόων ὄγδοος, ὅς κα εἴη χίλιαι μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν.
그리고 이 수는 제8의 수의 여덟 번째 수인데, 이는 제8의 수의 천만에 해당한다.
Φανερὸν τοίνυν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ, ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται, ἔλασσόν ἐστιν ἢ,ᾱ μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν.
그러므로 아리스타르코스가 가정한 항성 천구와 크기가 같은 모래의 양은 제8의 수의 1,000 만보다 적음이 명백하다.
Ταῦτα δέ, βασιλεῦ Γέλων, τοῖς μὲν πολλοῖς καὶ μὴ κεκοινωνηκότεσσι τῶν μαθημάτων οὐκ εὔπιστα φανήσειν ὑπολαμβάνω, τοῖς δὲ μεταλελαβηκότεσσιν καὶ περὶ τῶν ἀποστημάτων καὶ τῶν μεγεθέων τᾶς τε γᾶς καὶ τοῦ ἁλίου καὶ τᾶς σελήνας καὶ τοῦ ὅλου κόσμου πεφροντικότεσσιν πιστὰ διὰ τὰν ἀπόδειξιν ἐσσεῖσθαι διόπερ ᾠήθην καὶ τὶν οὐκ ἀνάρμοστον εἶμεν ἐπιθεωρῆσαι ταῦτα.
겔론 왕이시여, 이 일들은 수학에 참여하지 않은 대다수의 사람들에게는 믿기 어렵게 보일 것이라 나는 생각합니다만, 지구와 태양과 달, 그리고 전체 세상의 거리와 크기에 관해 경험을 얻고 깊이 생각해 본 사람들에게는, 증명 덕분에 이것들이 믿을 만한 것이 될 것입니다. 그런 까닭에 귀하께서도 이 일들을 살펴보시는 것이 부적절하지 않으리라 생각했습니다.