§1## PROBLEMA BOVINUM
Πρόβλημα, ὅπερ Ἀρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρὼν τοῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῇ πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῇ.
## 牛群问题阿基米德在诗句中发现的一个问题，他在给基rene的埃拉托斯特尼的信中，把它送给在亚历山大从事这些研究的人们去解答。
Πληθὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον φροντίδʼ ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης, πόσση ἄῤ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτʼ ἐβόσκετο νήσου Θρινακίης τετραχῇ στίφεα δασσαμένη χροιὴν ἀλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος, κυανέῳ δʼ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον, ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον.
异乡人啊，如果你分得智慧，请集中你的心思，计算太阳神赫利俄斯的牛群数量，它们曾在西西里岛的特里纳基亚平原上放牧，分为四群，颜色各异：一群白如牛奶，另一群闪耀着暗蓝色，第三群是黄色，第四群则是杂色。
Ἐν δὲ ἑκάστῳ στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτῳ καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὧ ξεῖνε, νόησον, αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρει μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν.
在每群中都有数量繁多的公牛，它们具有以下比例：异乡人啊，请思考，白毛公牛的数量等于暗蓝色公牛的二分之一加上三分之一，再加上全部黄色公牛；而暗蓝色公牛等于杂色公牛的四分之一加上五分之一，再加上全部黄色公牛。
Τοὺς δʼ ὑπολειπομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει ἀργεννῶν ταύρων ἕκτῳ μέρει ἑβδομάτῳ τε καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.
还要思考，剩下的杂色公牛等于白色公牛的六分之一加上七分之一，再加上全部黄色公牛。
Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδʼ ἔπλετο· λευκότριχες μὲν ἧσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι· αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τε πάλιν μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις.
至于母牛，情况如下：白毛母牛的数量恰好等于整个暗蓝色牛群的三分之一加上四分之一；而暗蓝色母牛的数量等于整个杂色牛群的四分之一加上五分之一，它们与所有去往牧场的母牛一同聚集。
Ξανθοτρίχων δʼ ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτῳ ποικίλαι ἰσάριθμον πλῆθος ἔχον τετραχῇ.
杂色母牛的数量等于黄色牛群的五分之一加上六分之一，并在四种颜色上具有相等的数量。
Ξανθαὶ δʼ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τε μέρει.
黄色母牛的数量被计算为等于白色牛群三分之一的一半加上七分之一。
Ξεῖνε, σὺ δʼ Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών, χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν, χωρὶς δʼ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἕκασται, οὐκ ἄιδρίς κα λέγοι οὐδʼ ἀριθμῶν ἀδαής, οὐ μὴν πώ γε σοφοῖς ἐναρίθμιος.
异乡人啊，如果你能准确说出赫利俄斯的牛群共有多少，分别说出肥壮的公牛数量，以及每种颜色的母牛各自有多少，你就不会被认为对数字一无所知或愚昧，但你还不能被列入智者之列。
Ἀλλʼ ἴθι φράζευ καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη.
但是，来吧，也请思考赫利俄斯牛群的以下所有条件。
Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν κυανέοις, ἵσταντ᾿ ἔμπεδον ἰσόμετροι εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δʼ αὖ περιμήκεα πάντη πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία.
当白毛公牛与暗蓝色公牛混合它们的数量时，它们紧密站立，宽深相等，特里纳基亚平原辽阔的空间被填满。
Ξανθοὶ δʼ αὖτʼ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες ἵσταντ᾿ ἀμβολάδην ἐξ ἑνὸς ἀρχόμενοι σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ᾿ ἐπιλειπομένων.
而当黄色和杂色的公牛聚集在一起时，它们从一只开始重叠而立，组成一个三角形，既没有其他颜色的公牛增加，也没有缺少。
Ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως κεκριμένος ταύτῃ γʼ ὄμπνιος ἐν σοφίῃ.
异乡人啊，如果你能共同找出并心中汇总这些，并给出所有数量的度量，就请带着胜利的荣耀前行，并确知你在此智慧上已被判定为极有成就。
§2## Σχόλιον
Τὸ μὲν οὖν πρόβλημα διὰ τοῦ ποιήματος ὁ Ἀρχιμήδης ἐδήλωσε σαφῶς·
## 评注评注：因此，阿基米德通过这首诗清楚地表明了问题。
ἰστέον δὲ λεγόμενον, ὅτι τέσσαρας ἀγέλας εἶναι δεῖ βοῶν, λευκοτρίχων μὲν μίαν ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθος ὁμοῦ συνάγει μυριάδας διπλᾶς ιδ΄ καὶ ἁπλᾶς φπβ΄ καὶ μονάδας ζτξ΄, κυανοχρόων δʼ ἄλλην ὁμοῦ ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν ἐννέα καὶ ἁπλῶν ηωλ΄ καὶ μονάδων ω΄, μιξοτρίχων δʼ ἄλλην ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν η΄ καὶ ἁπλῶν ςϠ(??)α΄ καὶ μονάδων υ΄· τῆς δὲ λοιπῆς ἀγέλης ξανθοχρόων συνάγει τὸ πλῆθος διπλᾶς μυριάδας ζ΄ καὶ ἁπλᾶς ςψη΄, μονάδας δὲ η· ὥστε συνάγεσθαι ὁμοῦ τὸ πλῆθος τῶν δʼ ἀγελῶν μυριάδας διπλᾶς μ΄ καὶ ἁπλᾶς γριβ΄ καὶ μονάδας ςφξ΄.
但必须知道所说的是什么，也就是说，必须有四个牛群，其中一个是白毛公牛和母牛，其数量合起来为14双重万、582单重万和7360个单位；另一个是暗蓝色公牛和母牛，其数量为 9双重万、8830单重万和800个单位；另一个是杂色公牛和母牛，其数量为8双重万、6991(??)单重万和400个单位；剩下的黄色牛群数量为7双重万、698单重万和8个单位；使得四个牛群的总数合起来为40双重万、3112单重万和6560个单位。
Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἔχει μυριάδας διπλᾶς η΄ καὶ ἁπλᾶς βϠλα΄ καὶ μονάδας ηφξ΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς ζχν΄ καὶ μονάδας ηω΄, ἡ δὲ ἀγέλη τῶν κυανοχρόων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς θχπδ΄ καὶ μονάδας αρκ΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς γ΄ καὶ ἁπλᾶς θρμε΄ καὶ μονάδας θχπ΄, ἡ δʼ ἀγέλη τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς ηωξδ᾿ καὶ μονάδας δω΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς β΄ καὶ ἁπλᾶς ηρκς΄ καὶ μονάδας εχ᾿, ἡ δʼ ἀγέλη τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς γ΄ καὶ ἁπλᾶς γρ(??)ε΄ καὶ μονάδας Ϡξ΄, θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς δ΄ καὶ ἁπλᾶς γφιγ΄ καὶ μονάδας ζμ΄.
其中，白毛公牛群有8双重万、2931单重万和8560个单位，母牛有5双重万、7650单重万和 8800个单位；暗蓝色公牛群有5双重万、9684单重万和1120个单位，母牛有3双重万、9145单重万和9680个单位；杂色公牛群有5双重万、8864单重万和4800个单位，母牛有2双重万、8126单重万和5600个单位；黄色公牛群有3双重万、31(??)5单重万和960个单位，母牛有4双重万、3513单重万和 7040个单位。
Καί ἐστι τὸ πλῆθος τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἴσον τῷ ἡμίσει καὶ τρίτῳ μέρει τοῦ πλήθους τῶν κυανοχρόων ταύρων καὶ ἔτι ὅλῃ τῇ τῶν ξανθοχρωμάτων ἀγέλῃ, τὸ δὲ πλῆθος τῶν κυανοχρωμάτων ἴσον τῷ τετάρτῳ καὶ πέμπτῳ μέρει τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων καὶ ὅλῳ τῷ πλήθει τῶν ξανθοχρωμάτων, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἴσον τῷ ἕκτῳ καὶ ἑβδόμῳ μέρει τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἔτι τῷ πλήθει ὅλῳ τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων, καὶ πάλιν τὸ πλῆθος τῶν λευκῶν θηλειῶν ἴσον τῷ τρίτῳ καὶ τετάρτῳ μέρει ὅλης τῆς ἀγέλης τῶν κυανοχρόων, τὸ δὲ τῶν κυανοχρόων ἴσον τῷ τετάρτῳ καὶ πέμπτῳ μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν ποικιλοτρίχων, τὸ δὲ τῶν ποικιλοτρίχων ἴσον τῷ πέμπτῳ καὶ ἕκτῳ μέρει τῆς ὅλης τῶν ξανθῶν βοῶν.
白毛公牛的数量等于暗蓝色公牛数量的二分之一加上三分之一，再加上整个黄色牛群；暗蓝色公牛的数量等于杂色公牛的四分之一加上五分之一，再加上整个黄色牛群；杂色公牛的数量等于白毛公牛的六分之一加上七分之一，再加上整个黄色公牛；而白色母牛的数量等于整个暗蓝色牛群的三分之一加上四分之一；暗蓝色母牛的数量等于整个杂色牛群的四分之一加上五分之一；杂色母牛的数量等于整个黄色牛群的五分之一加上六分之一。
Πάλιν δὲ τὸ τῶν ξανθῶν θηλειῶν πλῆθος ἦν ἴσον τῷ ἕκτῳ τε καὶ ἑβδόμῳ μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν λευκῶν βοῶν.
此外，黄色母牛的数量等于整个白色牛群的六分之一加上七分之一。
Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖσα ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμόν, ἡ δʼ ἀγέλη τῶν ξανθοτρίχων ταύρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεθεῖσα ποιεῖ τρίγωνον, ὡς ἔχει τὰ τῶν ὑποκειμένων κανόνων καθʼ ἕκαστον χρῶμα.
而白毛公牛群与暗蓝色公牛群相加组成一个平方数（正方形数），黄色公牛群与杂色公牛群相加组成一个三角数，正如针对每种颜色所设定的表格所示。