단위 차이의 불가능성과 여러 수론에 대한 비판 — 아리스토텔레스 『형이상학』 13권 8#1 그리스어 원문·한국어 번역

§13.8#1

πάντων δὲ πρῶτον καλῶς ἔχει διορίσασθαι τίς ἀριθμοῦ διαφορά, καὶ μονάδος, εἰ ἔστιν.¹ ἀνάγκη δʼ ἢ κατὰ τὸ ποσὸν ἢ κατὰ τὸ ποιὸν διαφέρειν· τούτων δʼ οὐδέτερον φαίνεται ἐνδέχεσθαι ὑπάρχειν. ἀλλʼ ᾗ ἀριθμός, κατὰ τὸ ποσόν. εἰ δὲ δὴ καὶ αἱ μονάδες τῷ ποσῷ διέφερον, κἂν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ διέφερεν ὁ ἴσος τῷ πλήθει τῶν μονάδων.² ἔτι πότερον αἱ πρῶται μείζους ἢ ἐλάττους, καὶ αἱ ὕστερον ἐπιδιδόασιν ἢ τοὐναντίον; πάντα γὰρ ταῦτα ἄλογα. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ κατὰ τὸ ποιὸν διαφέρειν ἐνδέχεται. οὐθὲν γὰρ αὐταῖς οἷόν τε ὑπάρχειν πάθος· ὕστερον γὰρ καὶ τοῖς ἀριθμοῖς φασὶν ὑπάρχειν τὸ ποιὸν τοῦ ποσοῦ. ἔτι οὔτʼ ἂν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς τοῦτʼ αὐταῖς γένοιτο οὔτʼ ἂν ἀπὸ τῆς δυάδος· τὸ μὲν γὰρ οὐ ποιὸν ἡ δὲ ποσοποιόν· τοῦ γὰρ πολλὰ τὰ ὄντα εἶναι αἰτία αὕτη ἡ φύσις. εἰ δʼ ἄρα ἔχει πως ἄλλως, λεκτέον ἐν ἀρχῇ μάλιστα τοῦτο καὶ διοριστέον περὶ μονάδος διαφορᾶς, μάλιστα μὲν καὶ διότι ἀνάγκη ὑπάρχειν· εἰ δὲ μή, τίνα λέγουσιν;—ὅτι μὲν οὖν, εἴπερ εἰσὶν ἀριθμοὶ αἱ ἰδέαι, οὔτε συμβλητὰς³ τὰς μονάδας ἁπάσας ἐνδέχεται εἶναι, φανερόν, οὔτε ἀσυμβλήτους ἀλλήλαις οὐδέτερον τῶν τρόπων· ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ὡς ἕτεροί τινες λέγουσι περὶ τῶν ἀριθμῶν λέγεται καλῶς. εἰσὶ δʼ οὗτοι ὅσοι ἰδέας μὲν οὐκ οἴονται εἶναι οὔτε ἁπλῶς οὔτε ὡς ἀριθμούς τινας οὔσας, τὰ δὲ μαθηματικὰ εἶναι καὶ τοὺς ἀριθμοὺς πρώτους τῶν ὄντων, καὶ ἀρχὴν αὐτῶν εἶναι αὐτὸ τὸ ἕν. ἄτοπον γὰρ τὸ ἓν μὲν εἶναί τι πρῶτον τῶν ἑνῶν, ὥσπερ ἐκεῖνοί φασι, δυάδα δὲ τῶν δυάδων μή, μηδὲ τριάδα τῶν τριάδων· τοῦ γὰρ αὐτοῦ λόγου πάντα ἐστίν. εἰ μὲν οὖν οὕτως ἔχει τὰ περὶ τὸν ἀριθμὸν καὶ θήσει τις εἶναι τὸν μαθηματικὸν μόνον, οὐκ ἔστι τὸ ἓν ἀρχή (ἀνάγκη γὰρ διαφέρειν τὸ ἓν τὸ τοιοῦτο τῶν ἄλλων μονάδων· εἰ δὲ τοῦτο, καὶ δυάδα τινὰ πρώτην τῶν δυάδων, ὁμοίως δὲ καὶ τοὺς ἄλλους ἀριθμοὺς τοὺς ἐφεξῆς)· εἰ δέ ἐστι τὸ ἓν ἀρχή, ἀνάγκη μᾶλλον ὥσπερ Πλάτων ἔλεγεν ἔχειν τὰ περὶ τοὺς ἀριθμούς, καὶ εἶναι δυάδα πρώτην καὶ τριάδα, καὶ οὐ συμβλητοὺς εἶναι τοὺς ἀριθμοὺς πρὸς ἀλλήλους. ἂν δʼ αὖ πάλιν τις τιθῇ ταῦτα, εἴρηται ὅτι ἀδύνατα πολλὰ συμβαίνει. ἀλλὰ μὴν ἀνάγκη γε ἢ οὕτως ἢ ἐκείνως ἔχειν, ὥστʼ εἰ μηδετέρως, οὐκ ἂν ἐνδέχοιτο εἶναι τὸν ἀριθμὸν χωριστόν. —φανερὸν δʼ ἐκ τούτων καὶ ὅτι χείριστα λέγεται ὁ τρίτος τρόπος, τὸ εἶναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν τὸν τῶν εἰδῶν καὶ τὸν μαθηματικόν. ἀνάγκη γὰρ εἰς μίαν δόξαν συμβαίνειν δύο ἁμαρτίας·⁴ οὔτε γὰρ μαθηματικὸν ἀριθμὸν ἐνδέχεται τοῦτον εἶναι τὸν τρόπον, ἀλλʼ ἰδίας ὑποθέσεις ὑποθέμενον ἀνάγκη μηκύνειν, ὅσα τε τοῖς ὡς εἴδη τὸν ἀριθμὸν λέγουσι συμβαίνει, καὶ ταῦτα ἀναγκαῖον λέγειν.—ὁ δὲ τῶν Πυθαγορείων τρόπος τῇ μὲν ἐλάττους ἔχει δυσχερείας τῶν πρότερον εἰρημένων, τῇ δὲ ἰδίας ἑτέρας. τὸ μὲν γὰρ μὴ χωριστὸν ποιεῖν τὸν ἀριθμὸν ἀφαιρεῖται πολλὰ τῶν ἀδυνάτων· τὸ δὲ τὰ σώματα ἐξ ἀριθμῶν εἶναι συγκείμενα, καὶ τὸν ἀριθμὸν τοῦτον εἶναι μαθηματικόν, ἀδύνατόν ἐστιν. οὔτε γὰρ ἄτομα μεγέθη λέγειν ἀληθές, εἴ θʼ ὅτι μάλιστα τοῦτον ἔχει τὸν τρόπον, οὐχ αἵ γε μονάδες μέγεθος ἔχουσιν· μέγεθος δὲ ἐξ ἀδιαιρέτων συγκεῖσθαι πῶς δυνατόν; ἀλλὰ μὴν ὅ γʼ ἀριθμητικὸς ἀριθμὸς μοναδικός⁵ ἐστιν.

무엇보다도 먼저 수에는 어떤 차이가 있는지, 그리고 만약 있다면 단위에는 어떤 차이가 있는지 규정하는 것이 좋겠다. 그리고 그것들이 서로 다른 것은 양에 있어서거나 질에 있어서여야만 한다. 하지만 이들 중 어느 쪽도 성립할 수 없는 것으로 보인다. 하지만 수인 한에서는 양에 있어서 다르다. 만약 참으로 단위들 또한 양에 있어서 다르다면, 단위들의 개수가 같은 수라 할지라도 수와 수 사이에 차이가 생기게 될 것이다. 나아가 먼저 있는 단위들이 더 큰가 아니면 더 작은가, 그리고 나중에 오는 것들이 증가하는가 아니면 그 반대인가? 왜냐하면 이 모든 것들은 불합리하기 때문이다. 그러나 질에 있어서 다를 수도 없다. 왜냐하면 단위들에게 어떠한 상태도 속하는 것이 불가능하기 때문이다. 왜냐하면 그들은 수가 질을 가지는 것은 양보다 나중이라고 말하기 때문이다. 나아가 이것은 '일'로부터도 '이'로부터도 단위들에게 생겨날 수 없을 것이다. 왜냐하면 한쪽은 질적인 것이 아니고, 다른 쪽은 양을 만들어 내는 것이기 때문이다. 왜냐하면 존재하는 것들이 많음의 원인은 바로 이 자연적 본성이기 때문이다. 그러나 만약 그것이 다른 어떤 방식으로 되어 있다면, 무엇보다도 먼저 처음에 이 점을 말해야 하며 단위의 차이에 관해 규정해야 한다. 특히 왜 그것이 필연적으로 존재해야 하는지 그 이유를 말이다. 그렇지 않다면 그들은 무슨 차이를 말하고 있는가? ――그러므로 만약 이데아들이 수라면, 모든 단위들이 비교 가능할 수도 없고, 서로 비교 불가능할 수도 없음(두 가지 방식 중 어느 쪽으로도)이 분명하다. 그러나 또한 어떤 다른 이들이 수에 관해 말하는 방식도 올바르게 말해진 것이 아니다. 이들은 이데아가 단적으로든 어떤 수로서든 존재하지 않는다고 생각하지만, 수학적 대상들이 존재하며 수가 존재하는 것들 중 첫 번째 것이고 그것들의 원리가 바로 '일' 자체라고 보는 사람들이다. 왜냐하면 그들이 말하듯이 '일'들 중에는 어떤 첫 번째 '일'이 존재하지만, 이들 중에는 첫 번째 이가 존재하지 않고, 삼들 중에도 첫 번째 삼이 존재하지 않는다고 하는 것은 터무니없기 때문이다. 왜냐하면 모든 것이 똑같은 논리에 속하기 때문이다. 그러므로 만약 수에 관한 사정이 이와 같고 누군가가 수학적인 수만이 존재한다고 상정한다면, '일'은 원리가 아니다(왜냐하면 그러한 '일'은 다른 단위들과는 달라야만 하기 때문이다. 그리고 만약 그렇다면 이들 중에도 어떤 첫 번째 이가 존재해야 하고, 마찬가지로 그 뒤를 잇는 다른 수들에 대해서도 그러해야 하기 때문이다). 반면에 만약 '일'이 원리라면, 플라톤이 말했던 것처럼 수에 관한 사정이 성립해야 하고, 첫 번째 이와 삼이 존재해야 하며, 수들이 서로 비교 불가능해야 함이 한층 더 필연적이다. 하지만 반대로 누군가가 다시 이것들을 상정한다면, 많은 불가능한 일들이 생겨난다는 점은 이미 언급되었다. 그러나 참으로 이 방식이든 저 방식이든 둘 중 하나여야만 하므로, 만약 둘 다 아니라면 수가 분리되어 존재할 수는 없을 것이다. ――이것들로부터 세 번째 방식, 즉 형상들의 수와 수학적 수를 동일한 수로 보는 주장이 가장 나쁘게 말해진 것이라는 점 또한 분명하다. 왜냐하면 하나의 의견에 두 가지 오류가 동시에 생겨나는 것이 필연적이기 때문이다. 즉 이 방식으로는 수학적 수가 존재하는 것이 불가능하므로, 독자적인 가설들을 상정하면서 구구절절 늘어놓아야만 하고, 또한 수를 형상으로 말하는 자들에게 일어나는 일들 역시 필연적으로 말할 수밖에 없기 때문이다. ――피타고라스 학파의 방식은 한편으로는 이전에 언급된 것들보다 곤란함이 더 적지만, 다른 한편으로는 독자적인 다른 곤란함을 가지고 있다. 왜냐하면 수를 분리된 것으로 만들지 않는다는 점은 많은 불가능한 일들을 제거해 주기 때문이다. 하지만 물체들이 수들로 구성되어 있고, 이 수가 수학적 수라고 하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 분할 불가능한 크기가 존재한다고 말하는 것은 참이 아니며, 설령 그것이 최대한 그렇다고 하더라도, 적어도 단위들이 크기를 가지는 것은 아니기 때문이다. 그런데 어떻게 크기가 분할 불가능한 것들로부터 구성되는 것이 가능하겠는가? 게다가 산술적인 수는 적어도 단위들로 이루어진 것이다.

구문 주해5건

1083a1διαφορά, καὶ μονάδος, εἰ ἔστιν
μονάδος(단위)는 διαφορά(차이)에 걸리는 속격이다. εἰ ἔστιν(만약 있다면)은 단위에 차이가 존재하는지의 불확실성을 가리키며, 수에 어떤 차이가 있는지에 대한 앞의 물음에 이어 단위에도 차이가 성립할 수 있는지를 묻고 있다. 여기서는 수와 단위가 διαφέρειν(다르다)의 주어로 상정되어 있다.
1083a5εἰ δὲ δὴ καὶ αἱ μονάδες τῷ ποσῷ διέφερον, κἂν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ διέφερεν ὁ ἴσος τῷ πλήθει τῶν μονάδων
미완료 과거를 사용한 반실가상문(εἰ + 직설법 과거 / ἄν + 직설법 과거)이다. 'ὁ ἴσος τῷ πλήθει τῶν μονάδων'은 'ἀριθμός'를 수식하며, '단위들의 개수에 있어서 같은 수'라 할지라도 (다른 수와) 달라지게 된다는 불합리한 귀결을 이끌어낸다.
1083a18συμβλητάς
플라톤 철학에서 수의 단위들의 '비교 가능성(동질성)'을 가리키는 전문 용어이다. 단위들끼리 서로 통약 가능(동질적)하여 더해져서 다른 수를 형성할 수 있는 성질(συμβλητός)과 그렇지 않은 성질(ἀσύμβλητος)의 대립을 염두에 두고 있다.
1083b4ἀνάγκη γὰρ εἰς μίαν δόξαν συμβαίνειν δύο ἁμαρτίας
συμβαίνειν은 '결과적으로 (동시에) 생겨나다'의 의미이며, 그 의미상의 주어는 δύο ἁμαρτίας(두 가지 오류)이다. εἰς μίαν δόξαν(하나의 의견 안에서)은 형상수와 수학적 수를 동일시하는 입장을 가리킨다.
1083b16μοναδικός
산술적인 수가 '단위(μονάς)들로 이루어진' 또는 '단위적인' 특징을 가짐을 나타내는 형용사이다. 피타고라스 학파가 수학적 수를 물체의 구성 요소(크기를 가진 단위)로 보는 것에 반해, 본래의 산술적 수는 크기가 없는 순수한 단위들로 이루어져 있음을 대비시키고 있다.

번역: Gemini 3.5 Flash (2026-05-22 공개)urn:cts:greekLit:tlg0086.tlg025.humanitext-grc2:13.8#1